Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
^стар ("^стар> ^стар) — ^
Po (*стар’ гстар)
d?Xc тяп —
a5CTap-a5CTapI СТЗР
= \ua0B —Wj (Vjhob-WJ110b +^ WjU-k%Jk)~\ -і-0(є6). (39.36)
L ' Z 7j5cHOB-iHOB
2. Может оказаться полезным закон сохранения барионов (39.44).]
§ 39.10. ППН-ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Движение Солнечной системы подчиняется уравнениям Tfp = 0. Прежде чем заниматься их изучением, необходимо вычислить постньютоновские поправки к тензору энергии-импульса в ППН-системе координат. Для этого требуется перейти от сопутствующей ортонормированной системы ю“, где
T' ^ = Po(1 +П), ГП=_-0, Tn=tn, (39.37)
к ППН-системе координат. Это преобразование можно проделать в два этапа: вторым этапом является преобразование
«а0== [I -U-J-О (е4)] At —
+ [уAJO+ Y (уаі —“г) WjU+ O2WkUkj+ О (R5)^ix1,
(39.38а)
ю’ = [(14- \U) &jk + О (є4)] dxft -f- О (є5) At (39.386)
2
Постгалнлеевская
инвариантность
УПРАЖНЕНИЕ
2
Координатная форма тензора энергии-импульса
334 39. Другие теории гравитации
между ППН-спстемой координат п связанной с ней ортонормиро-ванной системой; первым этапом служит чисто лоренцево преобразование (буст) между двумя ортонормированными системами о)а и (о“; 4-скорость этого буста равна взятой со знаком минус 4-скорости вещества, которая имеет компоненты
U3=VjU0, и0 = I + — V2 -J-U+ О (є4) в ППН-системе, (39.39)
uJ =VjuP, 1^=1 +jV2 +О (Ei), )
¦j - ’ - * 1 2 Ur = Wj [1 + (1 + 7) UI
в системе 0)“.
J
(39.40)
Преобразо вание от системы покоя вещества к ППН-системе координат
Комбинируя буст, обычная трехмерная скорость которого равна Р~= — vj, с преобразованием (39.38) и обращая полученное выражение, приходим к следующему результату (упражнение 39.12):
Ax1
иР = ортонормированный сопутствующий базис, &ха = базис ППН-координат; о , . 1
¦“ = j
Ли5 = 1 + у^ + С/ + 0(є4),
Al =vj[i + ^-v2 + (2 + y)u]-^ A1Vj-^ A2Wj +
+ («2— Y«і) IPjU — O2WhUhj Jr О (гъ), (39.41)
А\ = Vj [ I + ~ V2 + *7J + О (є5),
А\ = (! — yU) 8jh +1 VjVk + 0 (е4).
Это преобразование, примененное к тензору энергии-импульса (39.37), дает в ППН-системе координат
ро = ро (і + п + У2 + 2U) + О (р0S4), (39.42а)
Toj = Po (1 + П +ф + 2U) Vj + t7fkvm + О (р0е5), (39.426)
Tjk = tn(l-2yU) + p0aj-U + v2 + 2U) VjVh +
+ T kmV™ + Vkh шит) + 0 (Р<>Є6)•
(39.42в)
упражнение 39.12. Переход от сопутствующей системы к ППН-системе координат
Проведите во всех деталях вывод матрицы преобразования (39.41) и при этом вычислите поправки порядка О (є4) к Aj.
§ 39.11. П П Н-у равнения движения 335
§ 39.11. ППН-УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Постньютоновские поправки к ньютоновским уравнениям движения (39.15) и (39.16) выводятся из закона сохранения числа барио-нов (ро^“);а = 0. а также из локального закона сохранения энергии-импульса Ifp = 0. Наиболее простым из уравнений движения является закон сохранения числа барионов. Точное выражение этого закона таково: (р0^а);а = (1/К—8) (V—?Ром“).а = 0. Введем новую величину:
Р* = Po (1 + у + З7С/ j = р0и° V — g + О (р0е4) (39.43)
[см. (39.39) для и0 и (39.32) для метрики]. Тогда закон сохранения массы покоя принимает ту же форму, что и в ньютоновском приближении (39.15а), с той лишь разницей, что теперь он более точен:
pft + (p*y,-),, = O+ ошибки порядка О (р0 7е5). (39.44)
Следующим по простоте является уравнение движения Tafa = 0. Простые выкладки с использованием метрики, заданной формулами (39.32), а также формул (39.42) для энергии-импульса дают
[Po (1 +П4-1Я + 2С/)],, + [р0 (1 +П + у2 + 2U) Vj + i],j +
+ (Зу — 2) P0CJli + (З7 — 3) P0VhU.k —О (ро, j?°). (39.45)
Вычитая отсюда уравнение (39.44) и используя уравнения движения (39.15) и (39.16), чтобы упростить некоторые члены, для которых применимо ньютоновское приближение, получаем
Po dU/dt + t-r^Vj' k = 0 + ошибки порядка О (р0, ^e5). (39.46)
Как нетрудно заметить, это не что иное, как первый закон термодинамики (локальный закон сохранения энергии) в пренебрежении потоком энергии через вещество. (Пренебрежение потоком энергии было обосновано в § 39.5.) Этот первый закон термодинамики в действительности является постнъютоновским гидродинамическим уравнением, а не ньютоновским, поскольку в ньютоновском приближении П не влияет на гидродинамическое движение (см. § 39.7).
Последнее из уравнений движения = 0 сводится к пост-ньютоновскому уравнению Эйлера
г~ л ~
Ih к />' у?
dt
[(2у + 2) Uvj -1 (7А, + Д2) Vj -А сXlUwj ] -
2
Закон сохранения числа бариоиов
Закои сохранения энергии
Постньютоновское
уравнение
Эйлера
¦V]P*U.t + vkt
k j, t
-А.Д2р * (Vj-Wj)lt +
— Р* [ (7 A1 + A2) Vh + (сX1 — 2а3) wh] V h>j —
2
УПРАЖНЕНИЯ
336 39. Другие теории гравитации
- р* [24' —1J1Л - і -ф —a,WlWkUik + а2іг;г (Fi - W1)] . ¦-
— p*U,j J" Yt,z — а^гс-г + 4" (а2 —аз~«і) м>2—(2Р—2) U4-Зур/р*] +
+ Y hVh )TjK(^ ¦ Vk) ,k - I7y (f „ ^ I?ft)§ f] = 0.
(39.47)
Пространственные производные обозначаются запятыми; dldt — субстанциональная производная по времени [уравнение (39.16)].
