Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(40.3)
§ 40.1. Различные эксперименты
347
I
На самом деле приведенная выше форма выражения для метрики Солнца (40.3) является не вполне общей. В любой теории с предпочтительной «универсальной системой покоя» (например, теория Ни, дополнение 39.1) в метрике имеются дополнительные члены, обусловленные движением Солнца относительно этой предпочтительной системы (упражнение 40.1):
mG)
ds2 = [выражение (40.3)] -f (сс2 + CC3-Ct1) -^w2 dt2 +
+ 2 (а2 — Ya1) 1^r u'jdx3 dt—Ct2^-^x3xh — (x3xh — у r2bjh) J X
X Wj dt (2 dxh + wh dt). (40.3')
В этих «членах, связанных с наличием предпочтительной системы», Jq = Ijj — I p?'2d3x есть след второго момента распределения масс в Солнце; величины
GC1 = 7 A1 + Д2 — 4у — 4, а2 = ^2 + ? — 1’
“з = ^P1 — 2у — 2 — I
являются комбинациями ППН-параметров; гк — скорость Солнца (тождественно равная скорости системы координат) относительно предпочтительной системы. (Теории, подобные общей теории относительности и теории Дикке — Бранса — Иордана, которые не обладают предпочтительной системой, имеют CC1 = ос2 = сс3 = 0, и поэтому в метрике отсутствуют члены, связанные с наличием предпочтительной системы.) Для простоты изложения во всех уравнениях и при всех вычислениях в этой главе такие члены не будут учитываться, но будут обсуждаться следствия, к которым эти члены приводят, и будут указаны работы, в которых эти члены подробно исследуются.
40.1. ППН-метрика для идеализированного Солнца (курс 2)
Покажите, что для изолированного статического сферического Солнца, находящегося в начале системы ППН-координат, ППН-метрика (39.32) сводится к выражениям (40.3), (40.3'). В частности, покажите, что полная масса-энергия Солнца дается выражением
Л/©= j Po (1 + 2р2?У 4- рзП -f- Зр4р/р0) 4яг2 dr. (40.4)
о
{Предостережение. He следует, взглянув на эту формулу, немедленно думать: «Вклад массы покоя есть j р04яr2dr, вклад гравитационной энергии есть \ 2$2p0U4nr2dr и т. д.». Вместо этого, давая
4) с учетом эффектов, связанных с предпочтительной системой отсчета
УПРАЖНЕНИЕ
I
348 40. Эксперименты, в Солнечной системе
УПРАЖНЕНИЕ
Лучи света и радиоволны позволяют провести «чистые» тесты теории
относительности
такого рода интерпретацию, мы должны помнить, что 1) пространство-время искривлено, так что 4лr2dr не является собственным объемом, измеряемым с помощью физических линеек, а также что 2) теоремы вириала (упражнение 39.6) и другие интегральные теоремы могут быть использованы для того, чтобы изменить форму выражений, стоящих под интегралом. Дальнейшее обсуждение см. ниже в упражнениях 40.9 и 40.10.)
§ 40.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛУЧЕЙ СВЕТА И РАДИОВОЛН ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАВИТАЦИИ
В ньютоновском пределе орбиты планет и космических кораблей испытывают сильное влияние гравитации; зато на распространение света и радиоволн (с «бесконечной» скоростью) гравитация не влияет вовсе. Поэтому экспериментальное изучение орбит наталкивается на сложную проблему выделения релятивистских эффектов на фоне существенно более сильных классических ньютоновских эффектов. Напротив, при экспериментальном изучении распространения света и радиоволн не нужно бороться с превосходящим ньютоновским фоном. Неудивительно поэтому, что эксперименты по распространению света и радиоволн — самые чистые и наиболее убедительные из всех экспериментов в Солнечной системе.
С точки зрения математики параметром, который отличает луч света от планеты, является большая скорость первого. В уравнении для геодезических величина скорости определяет, какие из метрических коэффициентов могут влиять на движение. Рассмотрим, например, слабое статическое поле gafi = Tjctf5 + hafi и частицу при (х, у, z) = (г, 0, 0), движущуюся со скоростью (vx, vy, vz) = (0, v, 0) (фиг. 40.1). Здесь действие гравитации на траекторию частицы характеризуется величиной
/кривизна траектории в трехмерном\ /радиус кривизны,-1 \ почти евклидовом пространстве / \ траектории J —
__ d2x __ dx d I dx dx \ _ I d / \ _ I dux _
dy2 dy dx V dy dx ) иУ dx \ u'J ) (ii'J)2 dx
(I — Vі) f-,* dxa dx^ I dxa
= -hr- r«e -ir-jr =
= ~ ^00, xv 2 “Ь {hoy, x ^Ox, у) V 1 ( ~2 hyy, X hxij, у j •
Выраженная в сферических координатах в терминах идеализированного линейного элемента для Солнца (40.3), эта формула гла-
§ 40.2. Использование лучей света и радиоволн 349
Здесь траектория, описываемая в / изотропных координатах, имеет V (радиус- кривизны)’ =
hOO,г ^фф^^’г
2 V2 2
ФИГ. 40.1.
Искривление траектории пробного тела в точке наибольшего приближения к Солнцу как функция его 3-скорости. (Вычисление Ir обсуждение см. в тексте.)
сит, что для частицы в точке наибольшего приближения к Солнцу
(ср. с упражнением 25.21). Заметим, что здесь у есть ППН-пара-метр, а не (1 — у2)~1/2.
Обратим внимание на то, что случится, если скорость частицы подвергнуть бусту. Для малых скоростей [г;2 ~ (постньютонов-ский параметр разложения є2) :? MqIRq] полностью преобладает ньютоновская часть величины h00, а малые постньютоновские поправки обусловлены равным образом частью порядка є4 величины h00, частью б3 величины h0j и частью е2 величины hjk. [Это служило обоснованием разложения Zi00 до порядка О (є4), h0j — до О (є3) и hjh — до О (е2) в постньютоновском пределе; см. § 39.6.] Ho по мере увеличения V такой порядок членов меняется. В режиме высокой скорости V (v ~¦ 1 є2) искривление траектории стано-
