Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (39.44), (39.46) и (39.47) представляют собой полный набор уравнений движения в постньютоновском приближении.
39.13. Уравнения движения
Проведите во всех деталях вывод уравнений движения (39.44), (39.46) и (39.47). В частности, получите следующие значения символов Кристоффеля в ППН-системе координат:
П„ = -U,t + 0(U,fi*), Y0oj=-U,j + 0(U,je%
Г“й --= YU1 tbjk + у Д) \ a, k, -г у A2W0-, г,, -f-
~Ь ( ~а1 — aZ ) wIjU "Г CC2IV1Uj(j, ft) ~г Ol(UtJ-Es)'.
По = - + [ (Р -f- V) ?72-2^ + 1 ^ н-11Is +
+ Y («1 — “2 — аз) W2#'-Ь (аі — 2«з) -f (39.48)
-j—— O2WiWkU ik\ ,—AiV j, t — Y , f “Ь
+ (а2 --j «і) t — а21ггг/; — О (Г/>4),
4 = WttSjh - (I A1 -f Y Д2) % Ц - J - О <г^е3),
4 ,= -4(U,fihr- 2C/,(ft6 ^.) -г б> (Utje*).
Здесь квадратные скобки, заключающие тензорные индексы, обозначают антисимметризацшо, а круглые скобки — симметризацию. При выводе указанных формул может оказаться полезны?: доказать п использовать следующие соотношения:
%(t, х) = — ^ p0(i, х')\х — x'\d?x', (39.49а''
t.Jh = — SjhU -г Ulk, (39.496!
§ 39.11. ПП 11-уравнения движения 337
2
X.»=Vi -Wi+0(е»), W[h, я =Vfo,-].
(39.49в) УПРАЖНЕНИЯ (39.50)
Здесь у — функция, первоначально определенная выражени-
39.14. Постньютоновское приближение к общей теории относительности
Совершите постньютоновское разложение эйнштейновских уравнений поля, чтобы получить значения ППН-параметров общей теории относительности, которые приведены в дополнении 39.2. При вычислениях, по-видимому, лучше всего следовать методу Чандрасекара [442]. Положите ga(5 = т)а(5 + Tiap и предположите, что
Выберите временную и пространственные координаты так, чтобы удовлетворить четырем «калибровочным условиям»
а. Покажите, что пространственные калибровочные условия представляют собой постньютоновские приближения к калибровочным условиям (35.1а), которые использовались при изучении слабых гравитационных волн, но этого нельзя сказать о временном калибровочном условии.
б. Воспользуйтесь калибровочными условиями, а также соотношениями (8.24) и (8.47), взятыми в постньютоновском пределе, чтобы получить для тензора Риччи с точностью до порядка линеаризации следующие выражения:
в. Комбинируя эти выражения с ньютоновской формулой (39.13) для тензора энергии-импульса и с уравнением (39.27), получите следующие метрические коэффициенты с точностью до порядка линеаризации:
^00-2^7-)-^00 + (9(86), ^oj-——j + О (є5), (39.54)
T
ем (39.29в).
Ко = О (є2) + О (є4), hOJ = О (є3), hjk = 0 (є2). (39.51)
*00-------2 ^00' TnmjT О (EkIRo), Rjk----------тт О (є4/і?з),
(39.53а)
Roj —-----2" ^o/, тт — ^00, 0 j jT О (Ej / R^). (39.536)
22—018
338 39. Другие теории гравитации
упражнения Здесь U, Vj и Wj следует рассматривать как величины, определенные выражениями (39.34а)—(39.34в). Сравнивая эти метрические коэффициенты с выражениями (39.32), получите для общей теории относительности
Y = I, Ai = I, A2 = ]. (39.55)
г. Зная эту метрику в приближении линеаризации, можно провести анализ, описанный в § 39.10 (используя всюду y = A1 = = A2 = 1), чтобы получить постньютоновские поправки к тензору энергии-импульса [формула (39.42) с Y = H-
д. Вычислите аналогично этому постньютоновские поправки к компоненте R00 тензора Риччи, пользуясь соотношением ga р = = 1Iap ~г hар> формулой (39.54) для ha р и калибровочными условиями (39.52). Должен получиться ответ
Roo-(-U-^k00-U*) тт +WU,тт \-0(е*№Ъ). (39.56)
е. Получите уравнение Эйнштейна R00 = 8xt (T700 — 1IiSooT) с точностью до постньютоновского порядка, решите его и найдите тем самым постньютоновскую поправку к метрике
A00 = -2 U2 + 4 V, (39.57)
где 1F определяется формулой (39.43г) при P1 = P2 = Рз — р4 = 1-Сравнивая с выражениями (39.32в) и (39.34г), получите для общей теории относительности
р = P1 = P2 = P3 = P4 = ІЛ = Tl = 0. (39.58)
ж. Зная полную постньютоновскую метрику и полный тензор энергии-импульса, можно провести вычисления, упомянутые в § 39.11 (используя Y = P = Pi = Рг = Рз = Р4 = A1 = A2 = 1, Zs = г| = 0), и получить постньютоновские уравнения движения вещества [уравнения (39.44), (39.46) и (39.47)].
§ 39.12. СВЯЗЬ ППН-КООРДИНАТ С ОКРУЖАЮЩЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
Остается выяснить один важный вопрос: Какова ориентация ППН-системы координат относительно окружающей Вселенной? Более конкретно: Вращается ли ППН-система координат относительно «неподвижных звезд на небе» или же она в каком-то смысле «жестко связана» с ними? Чтобы ответить на этот вопрос, представим себе, что ППН-формализм используется для исследования Солнечной системы. He будем делать никаких предположений о скорости движения Солнечной системы относительно ППН-снстемы координат. Тогда по мере удаления от Солнца за орбиту Земли, затем на орбиту Плутона и далее в межзвездное пространство мы
§ 39.13. Обзор ППН-формализма 339
2
видим, как ППН-система координат по своим глобальным свойствам все более приближается К лоренцевой (ga о = Т]а |5 +
— О (Л/j) г). Таким образом, едали от Солнечной системы TltlH-система координат становится «лоренцевой системой, движущейся относительно Галактики». Это означает, что пространственные оси ППН-системы координат ведут себя так, как если бы они были связаны с гироскопами, расположенными вдали от Солнечной системы. Или, что эквивалентно, пространственные оси ППН-системы координат испытывают перенос Ферми — Уолкера через пространство-время Галактики и Вселенной.
