Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве описываемых экспериментов исследуется движение Луны, планет, космических кораблей, лучей света или гироскопов в геометрии пространства-времени Солнечной системы. Эта пространственно-временная геометрия является весьма сложной. В нее входят сферические поля Солнца и всех планет, несферические поля, обусловленные их квадрупольными деформациями, а также деформациями более высоких порядков, и, наконец, поля,
§ 40.1. Различные эксперименты 345
I
обусловленные их импульсами и моментами испульса. Более того, геометрия пространства-времени представляет собой результат (или по крайней мере в постньютоновском формализме рассматривается как результат) нелинейной суперпозиции всех этих полей *).
К счастью, некоторые из наиболее важных рассматриваемых здесь экспериментов свободны почти от всех этих усложнений. Измеряемые в них эффекты связаны исключительно со сферической частью гравитационного поля Солнца. Мы начнем с описания этих экспериментов (§ 40.2—40.5), а затем обратим внимание на эксперименты, в принципе более сложные.
Для обсуждения экспериментов в центральном поле нам понадобится выражение для внешнего гравитационного поля идеализированного изолированного, статического, сферически симметричного Солнца. В общей теории относительности подобное гравитационное поле описывается шварцшильдовским линейным элементом
= — (1 —) dt2 + х + r2 (d02 + sin2 $ d^'
Ho этот линейный элемент не годится для нас по двум причинам: 1) он слишком точен и 2) он записан в «неподходящей» системе координат.
Почему слишком точен? Потому что он прост только в невозмущенном и в немодифицированном виде, в то время как в некоторых модифицированных теориях появляются новые эффекты, настолько сложные, что они поддаются количественному рассмотрению лишь в постньютоновском приближении. Почему неподходящая система координат? Потому что физики, астрономы и специалисты по небесной механике при анализе Солнечной системы обычно используют не «шварцшильдовские», а «изотропные» координаты. Например, в постньютоновских разложениях, включающих ППН-формализм (гл. 39), почти всегда используют изотропные координаты. Еще один пример. В релятивистских астрономических таблицах, составленных Лабораторией реактивных двигателей Калифорнийского технологического института [358, 359], которые широко используются во всем мире, применяются изотропные координаты.
Таким образом, необходимо модифицировать шварцшильдов-ский линейный элемент. Сначала запишем его в изотропных координатах (упражнение 31.7); затем разложим метрические коэффициенты по степеням Mg/г с постньютоновской точностью. При
*) Конечно, с точки зрения неупрощенной эйнштейновской теории имеет значение лишь одна и единственная геометрия искривленного пространства-времени реального физического мира. Все эти «отдельные поля» нужны лишь для «бухгалтерского учета», и от них лучше всего отказаться (они перестают быть полезными), когда от постньютоновского предела мы переходим к неупрощенной эйнштейновской теории.
Идеализированная геометрия изолированного,, статического, сферически симметричного Солнца:
1) в шварцшильдовских координатах
I
346
40. Эксперименты в Солнечной системе
этом мы получим
2) в изотропных координатах
Здесь г, 0, ф связаны с х, у, z обычным образом:
r = (x2 + y2 + z2)1/\ 0 = arctg [z/(x2 -\- у2)1,г], ф = arctg (у!х), (40.2)
а г — новая «изотропная» радиальная координата, которую не следует смешивать со шварцшильдовским г. (Читатель, пропустивший § 39.6, узнает в следующем параграфе, почему мы оставили члены порядка Mfclr2 в g00, но не оставили их в gjh.) Замечание. Это постньютоновское выражение для метрики представляет собой частный случай результата, полученного в упражнении 19.3.
Вычисляя гравитационное поле того же источника (Солнца) в том же постньютоновском приближении в других метрических теориях гравитации, мы получаем очень похожий результат:
(см. упражнение 40.1). Здесь у и р — два из десяти ППН-пара-метров, описанных в дополнении 39.2. Напомним, что у определяет «величину пространственной кривизны, создаваемую единичной покоящейся массой», a P является мерой «величины нелинейности в законе суперпозиции для g00». Это качественное описание находит свое математическое отражение в приведенном выше выражении для идеализированной метрики, окружающей сферически симметричный центр притяжения.
Измеряя с высокой точностью параметр у, можно отличить общую теорию относительности (у = 1) от теории Дикке — Бранса — Йордана [у = (1 + со)/(2 + со). где со —«константа взаимодействия Дикке»]; см. дополнение 39.2. Ho общая теория относительности и теория Дикке — Бранса — Йордана предсказывают одно и то же значение для P (Р = 1). Эта тождественность не означает, что величину р не следует измерять. Значение P 1 предсказывается другими теориями [294]; поэтому измерения P полезны, чтобы отличить подобные теории от общей теории относительности.
.3) в ППН-форма-Л1ІЗМЄ
-j- |Ч 4- 27 J [dr2+ г2 (d02 + sin2 0 dфz)\ =
I^l _ 2 ^ + 2р (2] dt2 + [l + 27[dx2 + dy2 + dz2]