Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
постоянный постоянное постоянная
поворот смещение скорость
(«галилеево преобразование»). Однако 1) никакие локальные измерения никогда не позволят отличить эти абсолютные галилеевы системы координат от более широкого класса галилеевых систем (чтобы обнаружить отличие, необходимо проинтегрировать локально измеримую величину Ф,;- = I^00 до бесконечности), а
§ 12.3. Галилеевы системы координат 361
2
2) астрономические данные противоречат тому, что реальный мир представляет собой остров материи, окруженный пустотой.
Полезно провести сравнение между галилеевыми координатами и ньютоновским пространством-временем, описанным выше, лоренцевыми координатами и пространством-временем Минковского специальной теории относительности и координатами в общем случае и эйнштейновским пространством-временем общей теории относительности (см. дополнения 12.2 и 12.3).
12.4. Коэффициенты связности для вращающихся ускоренных координат
Исходя из выражения (12.4), для коэффициентов связности галилеевой системы координат {Xа (S5)}, выведите выражения (12.14) для коэффициентов связности системы координат {Xа' (Si)), определяемой соотношениями (12.13). Сделав это, убедитесь, что условия (12.15) необходимы и достаточны для того, чтобы {Xа' (S')} были галилеевыми.
12.5. Лифт Эйнштейна
Используя формализм этой главы, рассмотрите «лифт Эйнштейна», т. е. эквивалентность тяготения и ускорения системы отсчета. В каких отношениях тяготение эквивалентно ускорению, а в каких нет?
12.6. Отклонение геодезических у Земли
Орбитальная лаборатория с людьми на борту выведена на круговую орбиту вокруг Земли [радиус орбиты г0, угловая скорость со = (Mlrl)tI2 — почему?]. Космонавт выбрасывает пакет с мусором и наблюдает, как он движется вдоль своей геодезической. Он следит за движением пакета по отношению к (негалилеевым)
f — го 1 — ui
ФИГ. 12.1
Система координат, связанная с орбитальной лабораторией, движущейся по круговой орбите вокруг Земли.
2
362 !%• Теория Ньютона на языке искривленного простр.-времени
пространственным координатам {х*' (Si)}, которые (фиг. 12.1)
1) эвклидовы в каждый момент мирового времени (д/дх*') -(д/дXk') = = 8уь>, 2) начало которых находится в центре лаборатории, 3) у которых д/дх' направлен от Земли, а 4) д/дх' и д/ду' лежат в плоскости орбиты. Воспользовавшись уравнением отклонения геодезических, рассчитайте движение пакета с мусором в этой системе координат. Проверьте ответ, рассмотрев кеплеровские орбиты лаборатории и мусора. Указания. 1. Найдите Ra'^>y'y в этой системе координат простым преобразованием тензорных компонент.
2. Используя соотношения (12.14), найдите PzVv' в центре лаборатории (т. е. на опорной геодезической).
Дополнение 12.1. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ В НЬЮТОНОВСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Система координат, в которой проводятся выкладки: галилеевы пространственные координаты і? и координата мирового времени t. Общий вид уравнения
в компонентах
Л2и°\„а d*pd*e_n f Л 3v« Ji п Ji — О-
dk 2
Условия, специфичные для данной процедуры: пусть у всех частиц часы (аффинные параметры) нормированы таким образом, что показывают мировое время k = t. Это означает, что разделяющий вектор
па = (OxaIdn)ii
между геодезическими имеет нулевую временную компоненту п° = 0, т.е. на абстрактном языке
(df, П) = І,а«а = П° = 0;
на геометрическом языке это означает, что п лежит в пространственном сечении (на поверхности постоянного значения t). Вычисление ковариантной производной:
Dna
DX
dX
О, если 0]
dna , ra „І /И "I" Г Pnn
P Oxtl
dX
dna dX *
t
I
ГО, если P не простран-r3LcTBeHHHfi индекс (п° = 0) ?>2п° d (DnaIdX) + rV dn? dx* d (DnaIdk) d?na d?na dX* dX dX dX ~ dk dk 2 — dt2 *
0, если P =^=0)
T
ГО, если P не про- —[поскольку k = t '[странственный индекс
§ 12.3. Галилеевы системы координат 363
Вычисление приливных ускорениЁ:
D0 dx& л
“ Pve -Sr— пУ -гг- = О, поскольку отличны от нуля лишь компоненты Л Л Rioko и RW,
Ria . ^ пУ _________ Ri JL и* JL______ Ri пк_____ д2Ф к
“ M dX ~ ом dX <П,~И °*° ~ dxidxk *
t
!---[0, если у не пространственный индекс
если у пространственный индекс, то отличны от нуля лишь при P = 6 = 0
Получающееся в результате уравнение отклонения геодезических:
<РпО А, /согласуется с результатом, что повсюду га° = 0,\
dfi;* \ вытекающим из выбранного для всех частиц \ = t)*
2
&ПІ . 02ф
______ *_П (согласУется с результатом ньютоновской процедуры \
*2 ' дх) дх* п ~~ V в дополнении 11.4; см. также упражнение 12.3 /
Дополнение 12.2. ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ НЬЮТОНА, ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ МИНКОВСКОГО И ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ ЭЙНШТЕЙНА:
СРАВНЕНИЕ И ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ,
Вопрос
Какой геометрической структурой пространство-время обладает априори?
Какие существуют выделенные системы координат?
Пространство-время
Ньютона
1. Функцией мирового времени t
2. Ковариантной производной V
3. Пространственной метрикой «•»; но метрику пространства-времени определить невозможно (упражнение 12.10)
