Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Пробные частицы различного состава, находящиеся вначале в одном и том же месте и имеющие одну и ту же начальную скорость, следуют вдоль одной и той же мировой лияии (определение геодезической)
В каждой локальной области существует локальная система отсчета («свободно падающая система»), в которой все геодезические прямолинейны (все
Tallv = O)
Пространство-время всегда и везде имеет локально лоренцев характер
Никакого расслоения. Между каждыми двумя близлежащими событиями определен интервал; пространство-время везде имеет локально лоренцев характер, причем одна локальная система (заданные временная и пространственные оси) ничем не хуже другой (другие временная и пространственные оси); скорее «однородное», чем расслоенное
2
366 Теория Ньютона на языке искривленного простр.-времени
Продолжение
Свойство
Ньютон — Картан
Эйнштейн
Структура, выраженная на математическом языке
Есть Г%, но нет метрики пространства-времени ^v;
все остальные Taliv равны нулю
Tauv существуют не независимо, все они определяются из соотношения I1V =
apj_ / dggv і dggu 2 \ дх^ Sxv ^gnv \
дх& /
(сметрическая теория тяготения»).
Свободные от координат геометрические аксиомы ньютоновской теории тяготения
§ 12.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ, СВОБОДНАЯ ОТ КООРДИНАТ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
Основная цель данной главы состоит в том, чтобы переформулировать теорию тяготения Ньютона на геометрическом, свободном от координат языке. Мы достигли этого выше при активном использовании особого класса координатных систем — галилеевых координат. Перейти от галилеевых координат на язык, совершенно не связанный ни с какими координатами, в принципе совсем несложно. Нужно просто перейти от индексных обозначений к абстрактным обозначениям.
Пример. Переформулируем на свободном от координат языке условие T0a р = 0 того, что координаты галилеевы.
Решение. Пишем T0aр = — (Vpdf, ea >; обращение этой величины в нуль при всех а означает, что = 0 для всех р, откуда в свою очередь следует, что V„d? = 0 для всех и, т. е. градиент мирового времени ковариантно постоянен.
При помощи аналогичной процедуры можно сделать ряд утверждений о ньютоновском пространстве-времени, которые никак не связаны с координатами (дополнение 12.4) и совершенно эквивалентны теории тяготения Ньютона в ее классическом, негеометрическом варианте. Эти геометрические утверждения могут быть выведены из классической теории Ньютона (упражнение 12.7); если эти геометрические утверждения принять за аксиомы, то из них можно вывести классическую теорию Ньютона (упражнение 12.8).
упражнения 12.7. От Ньютона к Картану
Выведите геометрические аксиомы (первый раздел дополнения 12.4) из классических аксиом теории Ньютона (последний раздел дополнения 12.4). Рекомендуемая процедура-.
§ 12.4. Геометрическая формулировка теории Ньютона 367
2
Проверьте каждую из геометрических аксиом с помощью выкладок в галилеевой системе координат. Воспользуйтесь выкладками и результатами § 12.1.
12.8. От Картава к Ньютону
Из геометрических аксиом теории Ньютона (первый раздел дополнения 12.4) выведите классические аксиомы (последний раздел дополнения 12.4). Рекомендуемая процедура:
1. В некотором событии P0 выберите три ортонормированпых пространственных базисных вектора (вj, причем Bj-Bh = 6jh). Перенесите каждый из них параллельно во все остальные события пространства-времени, воспользовавшись произвольными траекториями.
2. Используя условней? (и, п) В] = 0 для всех Il и п (аксиома 3) и соображения, аналогичные изложенным в § 11.5, докажите, что а) получившиеся в результате векторные поля в; не зависят от произвольных траекторий, вдоль которых осуществлялся перенос, б) ДЛЯ ЭТИХ полей Vej = О И в) [ej, Bhl — 0.
3. Выберите произвольную «линию времени», которая пересекает каждое пространственное сечение (сечение постоянного значения t) один и только один раз. В качестве параметра на ней возьмите t, а ее касательный вектор выберите в качестве базисного вектора B0 в каждом событии этой линии. Разнесите параллельно каждый B0 по соответствующему ему пространственному сечению вдоль произвольных траекторий.
4. С помощью аксиомы 4 покажите, что получившееся в результате векторное поле не зависит от использованных траекторий переноса; покажите также, что такое построение обеспечивает v^e0 = V0B J = 0.
5. Покажите, что [ва, вр] = 0 для любых пар из четырех полей базисных векторов, откуда сделайте вывод, что существует система координат («галилеевы координаты»), в которой Ba = д!дха (см. § 11.5 и упражнение 9.9).
6. Покажите, что в этой системе координат повсюду Bj-Bh = 6jh (пространственные координаты эвклидовы) и единственными отличными от нуля компонентами коэффициентов связности являются Г^00; при этом будут полезны аксиомы 6 и 2.
7. Из свойства самосопряженности оператора кривизны Якоби (аксиома 7) покажите, что Rioho = RhOjol покажите, что, выраженное через коэффициенты связности, это свойство гласит; Г^0(Іі k = = Г*оо./; отсюда выведите, что существует потенциал Ф, такой, что
