Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3. Эта антисимметричная часть есть бивектор. Он не зависит от формы кривой, а зависит только от а) плоскости, в которой лежит кривая, и б) площади, которую она ограничивает. [Хотя без метрики понятие «площади» и лишено смысла, тем не менее «относительные площади в данном событии в данной плоскости» имеют точно такой же смысл, как и «относительные длины в данном событии в данном направлении». Два вектора в одном и том же событии лежат на одной и той же линии, если они отличаются друг от друга лишь множителем; их относительная длина в этом случае совпадает с их отношением. Аналогично, две малые замкнутые кривые в одном и том же событии лежат в одной и той же плоскости, если их бивекторы отличаются друг от друга лишь множителем (упражнение 11.5); их относительная площадь в этом случае совпадает с отношением их бивекторов.]
2.
3.
четырех-
сторонники
сторонника
Б. Общий случай
Произвольная, но малая замкнутая кривая.
1. Разобъем кривую на совокупность четырехсторонников, лежащих в одной плоскости с данной кривой.
Обойдем каждый из четырехсторонников по одному разу в том же направлении, в котором нужно обойти кривую. В результате каждое впутреннее ребро будет обойдено дважды во взаимно противоположных направлениях (равносильно тому, что его вообще не обходили); внешний край (кривая) будет обойден один раз.
Таким образом, 6А, соответствующее обходу кривой, равно сумме 6А, полученных в результате обхода каждого четырехсторонника:
6Aa --------^ (U Д ?для данного четырех-)1” ,
Определим бивектор f кривой из которых она составлена:
как сумму бивекторов четырехсторонников,
f == (и Д У)четырехсторонника
четырех-, сторонники
(сложим «площади», оставив плоскость неизменной).
§ 11.5» Нулевая риманова кривизна — многообразие плоское
4. Тогда
6 Aa +1 Ram^fy6 = + Ra р, V6 ,Л pZve = О
347
2
В. Предостережение
Все это справедливо лишь для замкнутых кривых малого размера: при удвоении площади 6А тоже удваивается, а ошибка возрастает в ~28/2 раза [анализ, проведенный в § 11.4, показывает, что 6А ~ AaAb, а ошибка ~ (Aa)2Ab или Aa (Ab)2].
§ 11.5. НУЛЕВАЯ РИМАНОВА КРИВИЗНА ЭКВИВАЛЕНТНА ТОМУ, ЧТО МНОГООБРАЗИЕ ПЛОСКОЕ
Сказать, что пространство, пространство-время или другое какое-либо многообразие является плоским, значит сказать, что в нем существует система координат (^a(IP)}, в которой все геодезические представляются прямыми:
ха(‘к) = аа+ЬаК
dX 2
в этой системе координат все равны нулю:
Tpliv = O.
Определение
плоского
многообразия
(11.16)
(Пример: Лореыцево пространство-время специальной теории относительности, где пробные тела движутся по таким прямым линиям.) Геодезические могут быть представлены в таком виде тогда и только тогда, когда коэффициенты связности в уравнении геодезических
<ftrP , тчВ dxdxv п (11 17)
(11.18)
Равенство нулю коэффициентов связности сразу же влечет за собой [соотношение (11.12)] равенство нулю всех компонент тензора кривизны Римана:
Из того,
что многообразие
плоское,
следует
R = O
(11.19)
[Формулировка (11.16)(11.18)-> (11.19) на геометрическом языке: прямолинейность всех геодезических в данной системе координат означает, что разделение первоначально параллельных геодезических сохраняется; отклонение геодезических равно нулю
и, следовательно, кривизна отсутствует.]
Верно ли обратное? Вытекает ли из равенства нулю римановой кривизны существование такой системы координат, в которой все геодезические представляются прямыми? Следующее построение показывает, что так оно и есть.
2
348 11- Отклонение геодезических и кривизна
Доказательство того» что
из R = O следует,
что многообразие
плоское
Перенесем вектор параллельным образом из Si0 в &, а затем обратно из & в Si0, но уже по слегка отличному пути. Он вернется в исходную точку, не изменившись ни по величине, ни по направлению, поскольку R везде равен нулю. Отсюда следует, что в результате параллельного переноса базисного вектора O11 из Si0 в & мы получим в (§ базисный вектор O11, ни величина, ни направление которого не зависят от пути переноса (если каждый путь можно получить один из другого с помощью какой-либо последовательности непрерывных деформаций). Все сказанное относительно точки Q1 справедливо для всех точек многообразия; все сказанное относительно одного базисного вектора справедливо для полной совокупности базисных векторов (ц = = 0, 1, 2, 3). Параллельный перенос базиса {еа (Si0)} дает во всем многообразии «поле системы отсчета», каждый базисный вектор которого не меняется (по отношению к полю системы) при параллельном переносе из какой-либо точки в соседнюю; таким образом,
Vell = O (11.20)
или
VvBn (= VevBn) = 0. (11.21)
Равенство нулю отдельных производных влечет за собой равенство нулю коммутатора полей любых двух базисных векторов:
Iew Bvl = VtlBv-Vveli = O-O = O (11.22)
Разрыв у четырехсторонника на фиг. 11.2 (где теперь под Ii следует понимать ей, а под ? — O11) полностью исчезает. Основываясь на этом, можно ввести координаты х*1, каждая из которых возрастает в направлении соответствующего векторного поля; выбрав соответствующим образом масштаб, можно записать
