Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
13.2. Метрика 375
2
динат метрика есть совокупность десяти функций точки ^liv (х“), таких, что выражение
As2 = —Дт2 = ^llv (*«) Az^Azv (13.1)
дает значение интервала между произвольным событием Xа и произвольным близким событием х? + Axfi. На языке абстрактной дифференциальной геометрии метрика является билинейной машиной g з (. . , •...), производящей число («скалярное произведение g (u, V) = (и •?)») из двух касательных векторов и и V.
Легко установить связь между абстрактным, машинным представлением и представлением в данной конкретной системе координат. Пусть смещение между двумя соседними точками представлено касательным вектором
I = AxaBa = Axa (д/дха).
В абстрактном представлении для интервала между двумя этими событиями имеем
As2 =JI.% = g (Aa^elll Aavev) = Aa^Aa^g (вц, ev);
сравнение с координатным представлением [выражение (13.1)] позволяет написать
?(iv=9(®li» 8v) = (13-2)
(обычное выражение для нахождения компонент тензора).
Подобно тому как в современной дифференциальной геометрии на место старого понятия «дифференциала» df приходит понятие «дифференциальной формы» if (дополнение 2.3, стр. 100), так и на место старого «линейного элемента»
ds2 = gllvdxt>'dx‘v (интервал между Xа и Xot + dxa) (13.3)
приходит билинейная машина («метрический тензор»)
g = ds2 = guv da?*4 ® d;rv. (13.4)
Продукция на выходе этой машины g (|, |) нри заданном векторе смещения на входе тождественно равна старому интервалу. Следовательно, ds2 = guvdz11 ® dxv представляет интервал некон-кретизированного смещения; вводя % во входные каналы ds2, мы тем самым придаем определенное значение интервалу g (§,
1) = Sn у Ax11Axv для данного определенного смещения.
В искривленном пространстве-времени с метрикой, так же как и в плоском пространстве-времени с метрикой (§ 2.5), каждому касательному вектору и соответствует своя 1-форма и:
и определяется так, что (и, V) = g (и, v) для всех v [(13.5)
Ковариантные
компоненты
метрики
Ср&вненнс «линейного элемента» и «метрики как билинейной машины»
Метрика устанавливает соответствие между 1-формами
и касательными векторами
2
376 13. Риманова геометрия
[«представление одной и той же физической величины двумя различными способами — в виде вектора и в виде 1-формы»; «соответствующие представления» в виде тензора виде тензора
^^ J . Пример: 1-форма и, соответствующая базисному вектору U = = ва, имеет компоненты
U3= (и, вр> = д (и, ер) = д(ва, ee) = gap;
t
—[соотношение (13.2) [поскольку Il = 6а
t
обычный способ! 1 нахождения up J
определение (13.5)]—
таким образом,
ga(3<t>P есть 1-форма ва, соответствующая ва. (13.6)
Так же как в плоском пространстве-времени (§ 3.2), в любой данный канал тензора можно наряду с вектором вводить 1-форму:
S(u, а, V) = S (и, а, ч).
(13.7)
На компонентном языке это означает, что индексы тензора можно опускать с помощью ковариантных компонент метрики
= S (ва, ЮР) ву) =
—[согласно определению S0Fv = S(ea, <йР, вт) = S (gan®11, «Л Bv) = (13.8)
-[согласно соотношению (13.6)
Смешанные и контра вариант* ные компоненты метрики
В каждом событии базисные векторы {ea} могут быть выбраны произвольным образом. Следовательно, соответствующие компоненты ga р метрики довольно произвольны (но всегда симметричны: gaP = gpa). Однако смешанные компоненты р отнюдь не произвольны. В частности, из уравнений (13.5) и (13.7) следует
(її, v) = g (u, v) = (її, v>. (13.9)
Отсюда заключаем, что метрический тензор в смешанном представлении тождественно совпадает с единичной матрицей:
^ctP = g (ю“, вр) = («>“, вр> = б“р. (13.10)
§ 13.2. Метрика 377
2
Эта особенность метрики в свою очередь сразу же фиксирует ее контравариантные компоненты:
П Р=Л = бве,
Л
----[«опускание индекса» у g®*1
т. е.
Il у есть матрица, обратная || gafi ||. (13.12)
Такое свойство обратимости позволяет нам с помощью обратить опускание тензорных индексов (т. е. поднимать индексы):
6“a Safiy = S^gvaSafiy = SllvSfiv. (13.13)
Содержание двух последних абзацев можно кратко представить в следующем виде:
1) Л=6°о;
2) Il Safi Il = Ikapir1;
3) тензорные индексы опускаются при помощи gat);
4) тензорные индексы поднимаются при помощи g“P.
Во всем этом формализме обращения с метрикой и перебрасывания индексов нельзя оставить без внимания один важный вопрос: как можно узнать, что метрика является локально лоренцевой. а не локально эвклидовой или локально еще какой-нибудь? Одним критерием (необходимым, но не достаточным!), безусловно, является размерность: локально лоренцево пространство-время должно иметь четыре измерения. (Напомним метод определения размерности, изложенный в § 1.2.) Ограничимся рассмотрением только четырехмерных многообразий. Что еще нужно потребовать? Нужно потребовать, чтобы в каждом событии Si существовала ортонормированная система отсчета (ортонорми-рованная совокупность базисных векторов {е^}), в которой компоненты метрики имеют тот же вид, что и в плоском пространстве-времени:
