Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
[Si = S(UxaBa). (11.26)
Точка Si однозначно определяет я® (если Si достаточно близка
к Si0, так что геодезические еще не пересекают друг друга из-за кривизны пространства-времени). Точно так же и і® определяют
Si однозначным образом. Следовательно, ж® можно выбрать в качестве координат Si — ее «нормальных римановых координат, базирующихся на событии Si0 и базисе {ва (е^о)}»-
Соотношение (11.26) есть краткая запись нормальных римановых координат. Другие соотношения, выведенные в упражнении
11.9, выражают их замечательные свойства:
Ba(Si0) = (OIdxa)^0, (11.27)
Tapv(^0) = O, (H.28)
rapY,u (Siо) = -4(fl°W + *°W). (И.29)
Если пространство-время наделено метрикой (как это и есть на самом деле) и если система отсчета в S50 была выбрана орто-
§ 11.6. Нормальные римановы координаты 351
нормированной (ва ^ep = Tjotp), то
gafi (Si0) = Лар. (11.30)
^аЭ.Л^о) = 0, (11.31)
Safi-uv (S1о) j" (-RanPv "Ь -RavPlO = g" «^aPnv, (11 -32)
¦fiafiyi (S^o) = 8а6.Pv О^о) Say.fit (Si0). (11.32 )
Здесь Ja Pllv — компоненты тензора кривизны Якоби (см. упражнение 11.7).
Является ли эта система координат единственной из локально инерциальных в Si0 (т. е. имеющих там Totpv = 0) и связанных с базисными векторами еа в нем (т. е. имеющих там дIdoift = еа)?
Нет. Ho все такие системы координат (называемые нормальными
координатами) совпадают друг с другом вплоть до членов второго порядка:
•Гновые (Si) — Хстарые (Si) + поправки порядка (х^арые)8-
Более того, лишь системы, совпадающие вплоть до членов третьего порядка
Xа новые ’
(Si) = х“арые(Si) + поправки порядка(а&аоые)4
старые7
2
другие
математические реаливацнн
инерциальной
системы
сохраняют красивую связь (11.29) и (11.32) с тензором кривизны Римана.
11.6. Симметрии R УПРАЖНЕНИЯ
(Обсуждаются в гл. 13.) Покажите, что R обладает следующими симметриями:
jRapve = -flap[v6] (антисимметричен по двум последним
индексам), (11.33а)
^a[3ve] = 0 (совершенно антисимметричная часть
обращается в нуль). (11.336)
11.7. Отклонение геодезических позволяет найти все компоненты кривизны
Уравнение отклонения геодезических, которое мы до сих пор писали в виде
V„Vuii+R(..., u, п, и) = О,
ИЛИ
VuVuB + SI (п, и) и = О,
может быть также записано в форме Якоби Vu^uil(и, и)п = 0.
Здесь f (и, У!) —оператор кривизны Якоби, определяемый соотно-
2
УПРАЖНЕНИЯ
352 11' Отклонение геодезических и кривизна
шением
f (u, v)n = y[J?(n, u)v+J?(n, v) и]. (11.34)
Он связан с «тензором кривизны Якоби»
J (..., п, и, v) = ^ (u, v) п, (11.35)
откуда следует, что
Э = J\Pa = 4 + ^%va). (11.36)
а. Покажите, что из JRtluPv = -RtlaIpv] следует Zttlapv, = 0.
б. Покажите, что анализ отклонения геодезических (подстановка произвольных и и п в VuVuIi+ f (и, и) п = 0) позволяет определить все компоненты J.
в. Покажите, что J несет в точности ту же информацию, что и R [Указание. Покажите, что
i?“avP = 4(^vap-Aav); (11.37)
это в совокупности с (11.36) доказывает «одинаковый объем инфор-
мации».] Следовательно, анализ отклонения геодезических позволяет найти все компоненты R.
г. Покажите, что эквивалентность JhR существенным образом опирается на симметрию R^vopj = 0. Для этого приведите пример
ТакИХ Значений JRttvaP = — R^vPai ДЛЯ КОТОРЫХ R^vap] Ф 0,
а /tlVaP = 0.
11.8. Отклонение геодезических во всех подробностях
Выпишите уравнение отклонения геодезических в компонентах в произвольной системе координат. Выразите все ковариантные производные (обозначаемые точкой с запятой) через обычные производные (обозначаемые запятыми) и Г-члены, чтобы все T-и 3-члены появились в явном виде.
11.9. Нормальные римановы координаты в общем случае
Выведите свойства (11.27) — (11.29), (11.31) — (11.32') нормальных римановых координат. Указание. Поступите следующим образом.
а. Из определения (11.26) докажите, что (даР/дз^)^,о = ва.
б. Подобным же образом из определения (11.26) покажите, что каждая из кривых ж® = VaX (где Vа — постоянные) является геодезической с аффинным параметром X, проходящей через
в. Покажите, что Tapv(S50) = 0, подставив з? = VaX в уравнение геодезических.
г. Поскольку кривые Xа = IftX являются геодезическими при любом выборе параметров Vа, они позволяют определить не только
§ 11.6. Нормальные римановы координати 353
касательный вектор геодезической u = но и векторы
отклонения N«z) за (д/ді/*)\. Найдите компоненты этих векторов в системе нормальных римановых координат и подставьте в уравнение геодезического отклонения в том виде, как оно было записано в упражнении 11.8.
д. Приравняйте нулю коэффициенты при нулевой и первой степенях К в уравнении отклонения геодезических пункта «г», воспользовавшись разложением
r*3v = W + О (А,2),
представляющим собой ряд Тэйлора для Г. Таким способом получите выражение (11.29) для r“pv,ji через тензор Римана.
е. Из соотношений (11.28), (11.29) и (8.24) для коэффициентов связности, выраженных через метрику, получите соотношения
