Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
•и—^Г (11.23)
(см. упражнение 9.9). Построив этот координатный базис, по формуле
Vaep= вйГ%а (11.24)
можно найти коэффициенты связности. Поскольку все величины в левой части равны нулю, приходим к выводу, что все коэффициенты связности справа («искривление геодезических») тоже должны быть равны нулю, а значит, пространство-время действительно является плоским.
Вывод: Пространство-время является плоским, т. е. в нем существуют «плоские координаты», в которых повсюду Tttap = 0 и геодезические суть прямые линии Xа (X) = а® + ЬаХ, тогда и только тогда, когда R = O.
Примечание. В пространстве-времени Эйнштейна, где есть метрика, в ходе предыдущих рассуждений можно выбрать ортонор-
§ 11.6. Нормальные римановы координаты 349
2
мированные {вр. (а^о)}* Для которых вц-ev = Ilnv В точке аР0. Получающееся в результате поле системы отсчета будет всюду ортонормированным, а система координат — лоренцевой. Таким образом, в эйнштейновской теории тяготения полученный выше вывод может быть переписан в виде: пространство-время является плоским (в нем существует лоренцева система координат) тогда и только тогда, когда R = O.
Предостережение: Если многообразие плоское, то это еще не означает, что у него эвклидова топология. Возьмем лист бумаги. Он плоский. Свернем его в цилиндр. Внутренне он остается плоским. Траектории геодезических на нем не изменились. Изменилась лишь топология — с точки зрения наблюдателя, живущего на этом листе. («Внешняя геометрия»— способ погружения этого листа в окружающее трехмерное пространство — также изменилась, но наблюдатель на самом листе ничего об этом не знает; однако это уже выходит за рамки материала данной главы. Подробнее об этом см. в § 21.5.)
Возьмем такой цилиндр. Согнем его и склеим концы, не меняя его плоской внутренней геометрии. Это невозможно сделать, если цилиндр остается погруженным в плоское трехмерное эвклидово пространство, и легко осуществляется, если он погружен в эвклидово пространство четырех измерений. Однако погружение не имеет никакого значения для наблюдателей, обитающих на цилиндре, так как внутренняя геометрия — это единственное, что они могут измерить; поэтому единственное, что имеет для них значение, это топологическое отождествление двух концов цилиндра. Результат с топологической точки зрения представляет собой тор; но траектории геодезических так и не изменились, внутренняя геометрия осталась плоской, тензор R равен нулю.
Цо аналогии рассмотрим плоское пространство-время Мин-ковского. Выберем некоторую лоренцеву систему отсчета и возьмем в ней куб с ребром IO10 световых лет (0 <х <1010 световых лет; то же самое для у и z). Отождествим противоположные грани куба таким образом, что геодезические, выходящие через одну грань, входят через другую. Результат с топологической точки зрения представляет собой тритор — «замкнутый мир» с конечным объемом, плоской геометрией Минковского и формой, которая совершенно не меняется с течением лоренцева времени t (нет ни сжатия, ни расширения).
§ 11.6. НОРМАЛЬНЫЕ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ
В искривленном пространстве-времени невозможно ввести систему координат, в которой повсюду Г“рт =0. Ho в данном событии SP0 всегда можно построить локально инерциальные системы отсчета; для наблюдателя в такой системе свободные частицы должны двигаться по прямым линиям, по крайней мере локально, а это
Лореицевы координаты существуют тогда н только тогда, когда RwO
Ив «ого,
что многообразно
плоское,
не следует,
что его
топология
эвклидова
2
350 H' Отклонение геодезических и кривизна
Нормальные
римановы
координаты —
реализация
локально
инерциальной
системы
Геометрическое построение нормальных римановых координат
Математические свойства нормальных римановых координат
означает, что Tapv должны обращаться в нуль, по крайней мере локально.
Крайне полезным частным случаем такой локально инерциальной системы является система нормальных римановых координат. Выберем событие Si0 и совокупность базисных векторов {ea (а^о) }> используемых в нем инерциальным наблюдателем. Заполним про-странство-время вблизи Si0 геодезическими, выходящими из Si0 во все стороны, как иглы у ежа или дикобраза. Каждая геодезическая в Si0 определяется своим касательным вектором v; в общем случае точка на геодезической может быть обозначена
05 = ^ (Я,; V) (11.25)
t t
аффинный параметр;' указывает, «где» на данной геодезической_____
L
касательный вектор в Si0; указывает, «которая из гео-___дезических»
На самом деле здесь гораздо больше геодезических, чем нужно. Одной и той же точки можно достичь на длине с параметром % при начальном касательном векторе v и на длине с параметром
Л
Y Я, при начальном касательном векторе 2v:
У (К; v) = ? (у К; 2v) (I; bv).
Таким образом, фиксируя А, = 1 и варьируя всевозможным образом V, можно достичь любой точки в некоторой окрестности &0. На этом основано построение нормальных римановых координат. Выберем событие Si. Найдем в Si0 такой касательный вектор V, для которого Si — S (I; v). Разложим V по выбранному базису и обозначим его компоненты Xа:
