Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
времени
«Мировое время» как поле скаляра
12.1. Риманова кривизна ньютоновского пространства-времени
Выведите выражение (12.5) для /?®В7в из выражения (12.4) для rePv
12.2. Уравнение поля Ньютона
Выведите из (12.5) с помощью (12.7) уравнение поля Ньютона в геометрической форме (12.8).
§ 12.2. РАССЛОЕНИЕ НЬЮТОНОВСКОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Галилей и Ньютон говорили о плоском, эвклидовом «абсолютном пространстве» и об «абсолютном времени»— двух совершенно разных и несвязанных понятиях. В абсолютном пространстве действовали ньютоновские законы физики, а абсолютное время текло само по себе. He было и намека на то, что пространство и время могут представлять собой два аспекта единой сущности — искривленного «пространства-времени»,—пока Эйнштейн не объединил их в теории относительности, а Картан [104] не последовал его примеру в ньютоновской физике с целью более глубокого проникновения в идеи Эйнштейна.
Как же абсолютное пространство-Галилея и Ньютона и их абсолютное время укладываются в «ньютоновское пространство-время» Картана? Ключом к пониманию этого является расслоение, вызываемое координатой мирового времени t.
Будем считать t функцией (скалярным полем), определенной в ньютоновском пространстве-времени раз и навсегда:
t = t (Si). (12.9)
Без нее пространство-время не было бы ньютоновским, ибо t в той же мере присуще ньютоновскому пространству-времени, в которой метрика g присуща лоренцеву пространству-времени. Слоями пространства-времени являются сечения постоянного t — пространственные сечения, у каждого из которых одна и та же геометрическая структура — старое «абсолютное пространство».
Став на точку зрения Картана, зададимся вопросом, какую геометрию накладывает на каждое пространственное сечение окружающая геометрия пространства-времени. Данное пространственное сечение наделено галилеевыми координатами, о которых шла речь в § 12.1, с базисными векторами в} = д/дх}; и в этом базисе коэффициенты связности обращаются в нуль: Г*Н[ = 0 [ср. урав-
§ 12.2. Расслоение ньютоновского пространства-времени 357
нение (12.4)]. Следовательно, геометрия каждого пространственного сечения абсолютно плоская.
Согласно старой точке зрения, «абсолютное пространство» по своей геометрии является эвклидовым, а галилеевы координаты — декартовыми. На языке Картана это можно выразить так: каждое пространственное сечение (t = const) не только плоско, а его галилеевы координаты не только обладают пулевыми коэффициентами связности, но каждое пространственное сечение наделено к тому же трехмерной метрикой и базис его галилеевой системы координат ортонормирован:
OfBj= (д/дх1) -(д/дх?) = Si j. (12.10)
Если пространственные сечения на самом деле такие плоские, то откуда берутся кривизна и отклонение геодезических? Они суть свойства пространства-времени. Перенесем параллельно вектор по замкнутому контуру, целиком лежащему в пространственном сечении; он возвратится в исходную точку, не изменившись. Ho перенесем его вперед во времени па At, к северу в пространстве на Axft, назад во времени на — At и в исходную точку к югу на —AXft; он возвратится, изменившись на
Ы--я(а>?,Ь*?)Л;
т. е.
6Л° = 0, 6Aj=-Bj0OkA0(At)(Axk) = -^-A0(At)(Axk). (12.11)
дх) dxh
Геодезические пространственного сечения (эвклидовы прямые линии), которые вначале были параллельными, остаются параллельными всегда. Ho геодезические пространства-времени (траектории свободно падающих частиц), которые вначале были параллельными, впоследствии расталкиваются и стягиваются кривизной простр анства-времени:
V„V„n + 31 (п, и) и = 0,
или, эквивалентным образом, в галилеевых координатах:
п° = dn°/dt = 0 вначале =^n0 = O всегда, (12.12а)
jTF+-^brnt=0 (12-‘26'
2
Пространственные сечения
С ЭВКЛИДОВОЙ
геометрией
Кривизна
проявляется в пространстве» времени,
а не в пространственных сечениях
(см. дополнение 12.1 и упражнение 12.3).
2
358 12' Теория Ньютона на языке искривленного простр.-времени
УПРАЖНЕНИЕ
Овреяеаеши
галилеевых
¦оордшпт
12.3. Вывод отклонения геодезических
Составьте третью колонку в дополнении 11.4, содержащую «геометрический анализ» в компонентных обозначениях с использованием галилеевых коэффициентов связности (12.4) ньютоновского пространства-времени. Это поможет вам глубже усвоить параллель между геометрическим анализом и старым ньютоновским анализом.
§ 12.3. ГАЛИЛЕЕВЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Существование и структура лоренцева пространства-времени специальной теории относительности совершенно не зависят от какой бы то ни было системы координат. Ho особое свойство его геометрии (нулевая кривизна) позволяет ввести специальный класс координат (лоренцевы координаты), которые особым образом связаны с точками пространства-времени:
(д/&г“) • (д/даР) — г)ар повсюду.
Изучая эти специальные системы координат и соотношения между ними (преобразования Лоренца), мы много узнаем о структуре самого пространства-времени (нарушение одновременности, ло-ренцево сокращение, замедление времени, ...).
