Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(11.31), (11.32) и (11.32').
11.10. Тождества Бианки
Покажите, что тензор кривизны Римана удовлетворяет «тождествам Бианки»
Л°М*>; в] = 0. (11.38)
Геометрический смысл этих тождеств обсуждается в гл. 15. (Указание. Проведите выкладки в начале системы нормальных римановых координат.)
11.11. Действие оператора цтвизны ва 1-формы
Пусть 31 (u, V) есть оператор Л (и, v) = [V„, V*] — V[u,*]i который наряду с касательными векторами действует также и на 1-формы о (или на другие тензоры). Покажите, что
{М (u, у) a, w) = — (а, т (u, v) w>.
11.12. Группа вращений: риманова кривизна
(Продолжение упражнений 9.13, 9.14 и 10.17.) Найдите компоненты тензора кривизны Римана в многообразии группы вращений SO (3); воспользуйтесь базисом генераторов {ва}. [Ответ:
RaHy6 = -J 6$, (11.39)
где 6$ — символ перестановок, определяемый соотношением (3.50м):
6$з=(6%6Рв-6вв6Рт).
Отметим, что полученный ответ не зависит от положения точки Si в групповом многообразии.]
2
УПРАЖНЕНИЯ
23-01*57
2
Ньютоновское
тяготение:
исходная
формулировка
12. ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА НА ЯЗЫКЕ ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Самый большой промежуток времени, в течение которого современная картина провисела в публичной галерее вверх ногами незамеченной, равен 47 дням. Это была «Лодка» Матисса, выставленная в Музее современного искусства в Нью-Йорке. За это время галерею посетило 116 ООО человек.
Н. МАКВИРСТЕР И. Р. МАКВИРСТЕР
Эта глава целиком относится к курсу 2.
Необходимым подготовительным материалом для нее являются главы 9—11. Она не является необходимой для последующих глав, но знание ее материала полезно при изучении
1) гл. 17 (уравнения поля Эйнштейна) и
2) гл. 38 и 39 (экспериментальные тесты и другие теории гравитации).
§ 12.1. ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА В КРАТКОМ ИЗЛОЖЕНИИ
Принцип эквивалентности не является особенностью одного только эйнштейновского описания тяготения. Особенностью эйнштейновского описания является сочетание принципа эквивалентности и локально лоренцевой геометрии. Возвращаясь к теории Ньютона, забудем все открытия последнего столетия, касающиеся специальной теории относительности, световых конусов, ограничения всех скоростей скоростью света и собственного времени. Вернемся к «мировому времени» t предыдущих столетий. В терминах этого мирового времени и прямоугольных «галилеевых» пространственных координат траектории нейтральных пробных частиц описываются в ньютоновской теории уравнением
^+^ = 0, (12.1)
Ф (иногда обозначаемый —U) = ньютоновский потенциал. (12.2)
Обычная интерпретация этих уравнений подразумевает, что они описывают «кривые траектории» х* (t), вдоль которых пробные частицы падают в эвклидовом пространстве (не в пространстве-
§ 12.1. Теория тяготения Ньютона 355
2
времени). К этим кривым траекториям относятся круговые орбиты вокруг Земли и параболические траектории футбольного мяча. Согласно Картану [136, 137), мы должны отказаться от этой точки зрения. Вместо этого мы должны считать такие траектории геодезическими U (А.), Xі (А,)] в искривленном пространстве-вре-мени. (Такой переход от одной точки зрения к другой показан на фиг. Б и В дополнения 1.6.) Поскольку «аффинно идущие» ньютоновские часы, переносимые пробными частицами, отсчитывают мировое время (или время, отличающееся от него числовым множителем, A, = at + Ь), уравнение движения (12.1) можно переписать в виде
<Pt cfixi і дф / dt ^ /do о\
HJ = 0' -ж+-м(ж) =°- (12-3>
Сравнивая его с уравнением геодезических
ICpxa , JiOt Acp dxy _ Л
Лг +1*? dk dX ~ ’
можно найти значения коэффициентов связности:
Г*оо = дФ/дх*; все остальные Totpv равны нулю. (12.4)
Подставляя их в обычное выражение (11.12) для компонент тензора Римана, получаем (упражнение 12.1):
RiOkO — —RiOOk = —~т~т * все остальные .A0Vye равны нулю. (12.5)
дх* дх*
Наконец, уравнение источников для ньютоновского потенциала
(12.6)
}
можно переписать с помощью «тензора кривизны Риччи»
ДаЭS= І?цаи3 (свертка R) (12.7)
в геометрической форме (упражнение 12.2):
і?оо = 4лр, все остальные Raр равны нулю. (12.8)
Уравнение (12.4) для Totpv, уравнение (12.5) для Rotpv6, уравнение (12.8) для Дар и уравнение геодезических несут в себе все содержание ньютоновской теории тяготения, переписанной на геометрическом языке.
Одно дело — быстро перечислить эти выкладки с компонентами. Совсем другое дело — полностью разобраться (как в абстрактном, так и в наглядном представлении) в смысле этих уравнений и в структуре ньютоновского пространства-времени. Достичь такого понимания и сравнить ньютоновское пространство-время с пространством-временем Эйнштейна — вот цель данной главы, основанной на работах Картана [136, 137], Траутмана [132] и Миз-нера [119].
Ныотмговоме тяготение: перевод на явы»
искривленного
проетранств*-
времевв
23*
2
356 12. Теория Ньютона на ягнке искривленного простр.-времени
УПРАЖНЕНИЯ
Геометрия
ньютоновского
пространства-
