Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
idxx - ix/2е?2- Если f^L2(R), то функция х) -
= ехр (tW)f(x) удовлетворяет уравнению cW = WV, или icW - - дххф + хФ/2,
и условию Ч' (0, х) - f (х). Унитарные операторы X(g) - ехр (1Ж) U (g)exp
(-(Ж) суть операторы симметрии для уравнения Шредингера с линейным
потенциалом, а инфинитезимальные операторы ехр (ГЖ)Ж ехр (-ГЖ) имеют
первый порядок по х и /.
Из (1.20) следует, что операторы Ж-2, З'з, &2, Ж-2 - Ж\, отвечающие
гамильтонианам свободной частицы, гармоническо-то осциллятора, линейного
репульсивного осциллятора и линейного потенциала, лежат на тех же самых
бг-орбитах, что и четыре представителя Ж~2, Жй и Ж2 + Ж~\ соответственно.
Таким образом, эти четыре гамильтониана в точности соответствуют четырем
системам координат, в которых уравнение (1.2) допускает разделение
переменных. Мы видим, что эти гамильтонианы образуют полное множество
представителей орбит в 'Si.
Отсюда следует, что уравнения Шредингера с потенциалами (1) - (4) в табл.
5 имеют изоморфные алгебры симметрии. Если мы подсчитаем операторы
симметрии при / = 0, то в каждом случае получим алгебру Ли S2 с базисом
(1.24). Хотя мы вначале получили эту алгебру симметрии, изучая уравнение
Шредингера с потенциалом (1), можно равным образом получить ее, изучая
уравнения с потенциалами (2), (3) или (4). Более того, в предыдущих
абзацах мы видели, как построить (зависящие от времени) унитарные
операторы в L2(R), которые отображают решения одного из этих уравнений в
решения другого уравнения. Эти четыре уравнения могут и должны изучаться
совместно.
Теперь можно сделать явной связь между орбитами и разделением переменных.
Предположим, что Чг(/, х)-решение уравнения для свободной частицы
idt'V = -dxx'V. (1.28)
Ясно, что это уравнение допускает разделение в переменных {/, х} и что
эти переменные "естественным" образом ассоциированы с данным уравнением.
Мы видим, что оператор A{t) - = ехр(/2?3)ехр(-1Ж-2) - ехр(-1Ж-2)ехр(/2?з)
отображает Чг в Ф(/, х) - А (/)ЧГ(/, х)-в решение уравнения для
гармонического осциллятора
2.1. Уравнение Шредингера (idt + 3")ЧГ(/,*],= 0 123
idt Ф = - дххФ - х2Ф/4.
(1.29)
Это решение нетрудно записать в явном виде:
Ф (/, х) = (cos /)~1/2ехр (- ix2 tg (0/4) ? (tg t, x/cos t).
Но уравнение (1.29) "естественно" допускает разделение в пе-ременных
{t,x}, и поэтому мы можем найти решение Чг уравнения (1.28) в виде
Так как уравнение (1.29) допускает разделение в переменных {arctg и, и},
а значит, и в переменных {и, и}, отсюда следует, что в (1.28) переменные
^-разделяются в координатах {и, и], причем множитель R = е1Я определяется
значением 31 = iu2v/4. (Множитель (1 + и2)_1/4 может быть включен в
соответствующий сомножитель при разделении переменных.) Таким образом, мы
объяснили существование в табл. 6 координат 4, связанных с оператором
Ж~2- Ж2. Подобными, рассуждениями мы можем связать с каждым из четырех
гамильтонианов "естественную" систему координат так, что они исчерпают
возможные неэквивалентные по отношению к G2 системы координат,
допускающие решения с ^-разделенными переменными.
Заметим, что если два оператора принадлежат одной и той же G2-op6nTe, то
первый оператор унитарно эквивалентен второму, умноженному на
вещественную константу. Таким образом, два соответствующим образом
нормированных оператора, принадлежащих одной и той же орбите, имеют тот
же самый спектр. В частности, если Ж, Ж' е ^2, Ж' - U (g) Ж11 (g-1) и
множество (возможно, обобщенных) собственных векторов fb(x)
самосопряженного оператора 1Ж полно,
и образуют полное множество собственных векторов оператора 1Ж' [98]. Из
этого замечания следует, что если мы хотим вычислить спектр,
соответствующий любому оператору Ж е $2,
Ч7 (/, х) = (1 -f v2) 1/4exp(m2u/4)0(arctgu, и), х = и( 1 + v2)m, t = v.
(1.30)
1Ж!Х = %!Ъ (//., /ц> = 6^,
(1.31)
где
оо
(hi, h2)= ^ hi(x) h.2(x)dx, hj e L2 (R), (1.32)
- oo
то достаточно вычислить спектр для четырех гамильтонианов.
124 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
упомянутых выше. Более того, мы в состоянии выбрать другой оператор Ж
таким образом, чтобы его спектральное разложение получалось особенно
просто и чтобы он принадлежал той же (?2'-орбите, что и данный
гамильтониан. Спектральное разложение гамильтониана и соответствующее
разложение по собственным функциям будет непосредственно получаться из
разложения для Ж применением группового оператора U(g).
Как частный случай последнего замечания рассмотрим оператор Ж-i = idxx.
Если {Д}-базис обобщенных собственных векторов некоторого оператора Ж
еЗ'г, то {ЧД = exp(^/f_2)/>}- базис обобщенных собственных векторов
оператора К = = &х'р(1Ж-2)Ж ех'р(-1Ж-2), а 4х\ удовлетворяет уравнению
Шредингера для свободной частицы (1.28). Аналогичное замечание
справедливо и для остальных гамильтонианов.
Вычислим в явном виде спектральное разложение оператора 3?г = Ж-2 - Ж2.
(Эти результаты известны, см. [52].) Уравнение для определения
собственных функций имеет вид
