Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
отображает решения в решения.
Калнинс и автор настоящей книги в работе [58] нашли все системы
координат, которые допускают решения уравнения
(1.2) с /^-разделенными переменными, и доказали, что соответствующие
решения ЧД = ехр{i$l{u,v))Ux{u)V\(v) с /?-разде-ленными переменными можно
охарактеризовать как собственные функции некоторого оператора К е ^2,
/ОКх = &Ч\, (ЗЧД =
= 0. Соответствие между орбитами в $2 и координатами, допускающими
решения с /^-разделенными переменными, указывается в табл. 6.
Во всех приведенных в табл. 6 случаях v = t. Как было указано выше,
существует всего четыре типа систем координат, допускающих разделение
переменных, и они соответствуют четырем нетривиальным б2-орбитам в д2.
(Здесь мы отождествляем две орбиты с коммутирующими представителями К-\,
К-2.) Однако таблица имеет шесть входов и каждая из шести систем
координат кажется отличной от остальных. Объяснение этому факту связано с
нашим определением эквивалентности координатных систем. Две системы
координат рассматриваются как эквивалентные, если одна система может быть
отображена в другую б2-преобразованием T(g). Более того, такое
преобразование, в частности (1.16), может иногда иметь довольно сложный
вид, так что две эквивалентные системы могут выгля-деть совсем по-
разному. Так как физический смысл оператора К2 неясен, довольно трудно
интерпретировать физические или
118 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Таблица 6
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ДОПУСКАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
(idi + dxx)y (t, х) = 0 С /?-РАЗДЕДЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Л г. /я? Решение с разделенными
Оператор Координаты {и" у) Множитель переменными
1 K_v К_2 х = и 32 = 0 Произведение экспонен-
циальных функций
2а /С 2 " * = и + о2/2 32 = ио/2 Произведение функции
Эйри и экспоненциальной функции
26 К2+Д_1 x = uv+\/2v 32 = (и2о - u/v)/4 Произведение функции
Эйри и экспоненциальной функции
За К0 х=*и л/v 32 = 0 Произведение функции
параболического цилиндра и экспоненциальной функции
36 К2 + Д_2 ж = и | 1 - о* 11/2 91 = ± иго/4
Произведение функции
еСли | v | > 1, параболического ци-
-, если |о|<1) линдра и экспоненци-
альной функции
4 ^2- ^-2 х - и( 1 + и2)1/2 32 = и2ц/4 Произведение
функции
Эрмита и экспоненциальной функции
геометрические взаимоотношения между двумя системами координат,
связанными с помощью экспоненты этого оператора.
Тем не менее имеется пятипараметрическая подгруппа группы G2, физический
смысл которой весьма прозрачен [74]. Эта подгруппа состоит из группы
Галилея плюс растяжение, и ее алгебра Ли имеет базис {К-2, К±i, Ко, К0}.
Если мы посмотрим на системы координат с точки зрения упомянутой
пятимерной подгруппы, то найдем, что вторая и третья бг-орбиты
расщепляются на две орбиты. Это отвечает наличию шести систем,
приведенных в табл. 6. (Однако в основу классификации систем положен факт
разделимости переменных, а не точность соответствия орбитам упомянутой
пятипараметрической подгруппы, включающей группу Галилея плюс растяжение
В самом деле, 2а расщепляется на две орбиты К-г ± Ки а 26 расщепляется ча
орбиты Къ ± К-]. Эти подслучаи дают координаты, которые отличаются только
знаком параметра, и мы не находим различия между ними.)
2.1. Уравнение Шредингера (idt + dxx)41(t, х) = О 119
Можно описать эквивалентность орбит 2 и 3 в терминах оператора / = ехр I
(л/4) (/С2 - /С-2) ] = ехр ((-я/4)?3),
/Ф (/,*)= 21/4 т ехр (-^ЛфГ-^-, (1.21)
' (1 +1) ! FVl + ^ \t+ 1 t+lj V '
Заметим, что /2 = exp [(я/2) (/C2 -/С-2)] = exp(-(n/2)L3) и
рф (t, x) = -p 1, ^, рф = - ф, /16Ф = Ф. (1.22)
Прямое вычисление дает
J(K-2 + K2)J~l = K°, /2(/С! -/С_2)/_2 = /С_, Ч-/С2, (1.23)
что доказывает С2-эквивалентность систем 2а, 26 и За, 36.
Теперь покажем, что операторы (1.4) можно интерпретировать как алгебру Ли
косоэрмитовых операторов в гильбертовом пространстве L2(R)
комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу на
вещественной прямой (гл. 1,
(5.2)). С этой целью рассмотрим формальное ограничение операторов (1.4)
на пространство решений уравнения (1.2). Тогда мы можем заменить в этих
выражениях д< на idxx и рассматривать t как параметр. Легко видеть, что
полученные операторы будут кососимметрическими, если их рассматривать на
подпространстве 2D a L2(R) бесконечно дифференцируемых функций с
компактным носителем. Более того, умножив каждый из этих операторов на i,
получим оператор, допускающий единственное самосопряженное расширение. В-
самом деле, операторы (1.4) являются вещественными линейными комбинациями
операторов
Ж2 = ix2/ 4, Ж j = /х/2,
%_х = дх, Ж_ 2 = idxx, Ж0 = i, Ж° = хдх + у2, (1.24)
и 1Ж\, 1Жй имеют единственное самосопряженное расширение. Если параметр t
положить равным нулю, то К/ станет равным Ж/, а К0 равным Ж0. Отсюда
следует, что операторы, обозначаемые рукописными буквами, будут
удовлетворять соотношениям коммутирования (1.5).
Согласно спектральной теории [112, гл. VIII], каждому ко-соэрмитовому
оператору Ж ^92 соответствует однопараметрическая группа U(а) = ехр(аЖ)
