Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, множество обобщенных собственных функций оператора Ж~\ =дх
полно; эти функции имеют вид
(х) = (2n)~l/2e~iU, - оо < X < оо,
ж_№ = х№, </<", /<") = б(^-р).
130 Г л. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Далее,
fji> (t, х) = ехр (tX_2) (х) = (2я)~1/2ехр (iX2t - Ах). (1.54)
Если 0VM}-базис (обобщенных) собственных функций некоторого оператора
и F\(t, х) = exp(tJ^-2)fx(x), то
Fx(x, х) = ехр([т - С]Ж~2) F\(t, х), и мы имеем в гильбертовом
пространстве следующие разложения:
k(t, х - y)=^Fx (t, х) fk (у) dX,
. _ (1.55)
k (т - t, X - у) = ^ Fx (т, х) Fx (t, у) dX,
где областью интегрирования служит спектр оператора iffl, а функция
k (t, х) =" (4nit)~112 ехр (- х2/(4ifj)
является ядром интегрального оператора ехр(^_2). Эти разложения известны
как непрерывные аналоги производящих функций [124, 143].
Теперь мы вычислим м. э. с. б. {f\\ которые позволяют получить разложения
собственных функций по собственным функциям fj[K Поскольку (U (g) fj[K U
(g) f</>) = (ff1, /</>), те же самые выражения позволяют разложить
собственные функции U (g) fw по собственным функциям U (g) В частности,
при U (g) = ехр (tW-2) мы имеем (F\?>, FilP') = (f^\ f\P) при любом
фиксированном t\ это позволяет нам разложить функции одного базиса
решений уравнения Шредингера для свободной частицы по элементам другого
базиса.
Мы приведем здесь некоторые особо интересные м.э. с. б.
/f(4) fm +\ -, озп/24-а-1/2 Г (^-/2 + 1/4 + п/2) у * ' 'к ' 2я
(2"п\)11й
vl +1 \ F (~Пр- <1-'',/2|Л
l(-1)"1 V3/4 -а/2 -п/2 I г)" '
Для определения (ff, удобнее найти производящую функцию, чем явное
выражение. Окончательный результат имеет вид 22/3ехр {-*['/" + * +
(2у)1/2]} Ai {22/3 ['Д - И, - t (2у)^]} "=
О-67*
п-о
Это выражение получается с использованием производящей функции для
многочленов Эрмита, которая будет выведена в
2.1. Уравнение Шредингера (Idt + <?") 'Р (t, х) = 0 131
разд. 2.2:
</?>. /11)> = ["!(-2)пп]-1/2ехр(-Я2)ЯД(2Я)1/2]> (1.58)
{f{?\ /№) = 22/Ш[2^(р-Я)]. (1.59)
Иные м.э.с. б. можно найти в [58]'.
Вычисление матричных элементов смешанных базисов (U (g) \ f(J*) позволяет
установить значительно большее коли*
чество разложений, связывающих решения уравнения Шредин-гера. Например,
имеем
(ехр(1Ж_2)/">, f'3>+> = </'4>, ехр(-ЯГ_0/"+>-
_ 23п/2+ 1/2(1 + Ц)1^12 г / \\ 1
~ (2л)3/4 (2n"!)1/2 (1 - it)nl2+ 1/4 Р L Л+ 2 ) ё J Х
vr ( J. 1 Т. И ( ~ П^' ^ _ П^ I 1 ~~ lt V 71 с(1\
ХГ1 2 + 4 + 2 j2^11,3/4-/(i/2-/г/21 2 )• (1>б0)
подобный результат справедлив и для Это соотношение
позволяет выразить многочлены Эрмита в виде интегралов от функций
параболического цилиндра и, наоборот, разложить функции параболического
цилиндра по многочленам Эрмита.
Матричные элементы (U (g)/(4), /") = (Т (g) ^4), F(?) легко вычисляются и
представляют большой интерес. Однако в разд. 2.2 мы будем исследовать
комплексное уравнение тепло-проводности, применяя для этого метод
Вейснера, и получим разложение многочленов Эрмита, которое будет
содержать эти матричные элементы как частный случай.
Очень интересно вычислить матричные элементы по отношению к базису {Д3)±}
обобщенных собственных векторов оператора Ж°. В этом случае теорема
сложения для матричных элементов будет иметь интегральный характер.
Виленкин [37] вычислил эти матричные элементы для подгруппы группы G2,
алгебра Ли которой имеет базис {Ж и Ж-и Ж0, Ж0}. Операторы группы суть U
(а, b, с, т), причем
U (а, Ь, с, х)/1(х) = ехр(аЖ1)ехр(сЖ0)ехр(хЖ°)ехр(ЬЖ_1) h(x)=*
<= ехр (т/2 -f iax/2 -f lc) h (ехх + Ь), (1.61)
а, Ь, с, те /?, h sL2(K).
(Ha основании (1.61) легко определить закон группового умножения.)
Виленкин показал, что матричные элементы оператора U (а, Ь, с, т) в
базисе {Д3)±} можно выразить через конфлюент-ные гипергеометрические
функции i7*V, результирующая теорема сложения содержит много интересных
интегральных тождеств для этих функций. Кроме того, в точности как в
аналогичном
132 Г л. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
случае группы ?(1, 1) (разд. 1.5), мы можем допустить, что параметр а в
(1.61) принимает комплексные значения, и вывести более общие интегральные
тождества. Относительно этих результатов см. [37], а также [82].
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - дхх)Ф = О
Уравнение теплопроводности в двумерном пространстве-времени (при
подходящем выборе масштабов) имеет вид
Q<D = 0 Q = dt - dxx, (2.1)
где t, х - вещественные временная и пространственная пере-
менные соответственно [109]. Ясно, что это уравнение можно получить из
уравнения Шредингера (1.2) заменой t на -it, и поэтому алгебры симметрий
этих уравнений тесно связаны. Действительно, простые вычисления
показывают, что алгебра симметрий уравнения (2.1) шестимерна и ее базис
состоит из операторов
#2 - Pdt + txdx + tl 2 + х2/4, Hi = tdx + х/2,
H0=l, Н_х = дх, Я_ 2 = д" H° = xdx + 2td,+42, (2'2)
для которых выполняются следующие соотношения коммутирования (Н0
коммутирует с любым оператором):
[Н°, Н,} = jH" j = ± 2, ± 1, 0, [Ни Я2] = [Я_" Я_2] = 0,
