Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
унитарных операторов в L2(R). Эта группа в свою очередь действует на ^2
согласно соотношению Ж-" и(а)Жи(-а). В частности, имеет место следующий
120 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
результат, важнейший в квантовой механике: ехр (аЖ_2) f (х) =
00
= 1. i. т. (4ш'а)_1/2 ^ ехр [- (х - yf/Aia] f (у) dy, (1.25)
f е= L2 (R), афО.
(Здесь (ш)1/2 = ет/4|а|1/2 при а > 0 и (ia)l/2 = е-яг/4|а|1/2 при а < 0.
Доказательство (1.25) см. в [67].) Можно проверить, что
ехр (<Х_2) ЖI ехр (- <Х_2) = К/,
ехр(1Ж_2)ЖЧхр(-(Ж_2) = К°. (1,26)
(Формальное доказательство легко получить на основании соотношений
коммутирования (1.5), но строгое доказательство с точно установленными
областями определения операторов значительно труднее.)
Далее, если / <= L2(R) и f принадлежит области определения косоэрмитова
оператора Ж-2, то W(t, х) -ехр((Ж^2)Кх) удовлетворяет уравнению дЛР
=Ж~2ЧГ или idtW = -дххЧ; для почти всех t и удовлетворяет условию W (0,
х) = f (х). Понятно, что ехр ЦЖ-2) является известным в квантовой
механике оператором сдвига по времени [72, 110]. Более того, это
унитарный оператор, поскольку интеграл 00
^ 'Pi (/, лО'РД*, x)dx = (exp(ffl_2)fu ехр ((Ж_2) f2) =
- 00
00
= (/ь Ь>= \ f\(x)h(x)dx (1.27) - 00
не зависит от времени. Мы ввели структуру гильбертова пространства на
совокупности решений уравнения (1.2), в точности согласующуюся с обычным
гильбертовым пространством состояний, отвечающим свободной частице. Более
того, соотношения (1.26), определяющие зависимости между операторами в
момент времени / = 0 (рукописные буквы) и операторами в момент времени t
(обычные буквы), суть не что иное, как обычные соотношения связи между
гейзенберговской и шрединге-ровской картинами в квантовой теории [110,
139]. Легко видеть, что унитарные операторы
ехр (аК) = ехр ^Ж_2) ехр (аЖ) ехр (- tЖ_2)
отображают элементы 4х гильбертова пространства решений уравнения (1.2) в
Ф = ехр (a/C)^, которые также являются решениями уравнения (1.2). Отсюда
следует, что унитарные one-
2.1. Уравнение Шредингера (idt + дХх)гР(/, х) =0 121
раторы ехр(аД) являются операторами симметрии уравнения (1.2).
Впоследствии мы увидим, что операторы Ж порождают глобальное унитарное
представление накрывающей группы 02 группы G2, но не самой G2. Принимая
этот факт, допустим, что U(&)> gs(J2, - соответствующие унитарные
операторы, и положим Т(g) = ехр ЦЖ-ч) U (g) ехр (-^_2). Легко доказать,
что Т(ё)-унитарные операторы симметрии уравнения (1.2) и чго
соответствующие инфинитезимальные операторы суть К = = ехр (1Ж-2)Ж ехр (-
1Ж-2).
Рассмотрим оператор 3?ъ = Ж-2 - Ж2 = idxx - гх2/4 е ^2. Если f^L2(R), то
функция 4х Д,х) = ехр{t3?z)f(х) удовлетворяет уравнению = JZW, или idtW
=-dxxW + x2W/4, и условию 4х(0, х)= f{x). Подобным образом унитарные
операторы V(g) = ехр (tS'z) U (g)exp (-t3?2) являются операторами
симметрии для последнего уравнения, т. е. уравнения Шредингера линейного
гармонического осциллятора, фигурирующего в табл. 5 под номером (2). (В
данном случае мы нормируем потенциал, приняв k = 'Д.) Легко проверить,
что соответствующие инфинитезимальные операторы ехр (tS'z)Ж ехр (-12'3)
можно представить в виде дифференциального оператора первого порядка по
переменным х, t. (В частности, эти операторы будут вещественными
линейными комбинациями базисных операторов (1.24) с коэффициентами,
зависящими от t. Рассматривая действия этих операторов в пространстве
решений уравнения Шредингера гармонического осциллятора, мы можем везде
заменить idxx на dt + ix7/4.)
Обратно, если К' - оператор симметрии первого порядка для уравнения
Шредингера гармонического осциллятора, то можно показать что при t - 0
оператор К' сводится к вещественной линейной комбинации операторов
(1.24). Отсюда следует, чго каждая из алгебр операторов симметрии для
уравнений с потенциалами (1) и (2) табл. 5 будет изоморфна алгебра ^2 с
базисом (1.24). Для уравнения свободной частицы операторы симметрии суть
Д = ехр(^_2)Xехр(-1Ж-2), в то время как для уравнения гармонического
осциллятора такими операторами являются К' = ехр(12'3)Ж ехр (-t2?3). В
обоих случаях операторы Ж одни и те же. Более того, при фиксированном Ж
операторы К и К1 унитарно эквивалентны, К' = A (t) KA~l(t), хотя
унитарный оператор A {t) = ехр (^3) ехр (-tyt~2) зависит от t.
Продолжая подобным образом, рассмотрим оператор 9?2 = - Ж-2 -f- Ж2 = idxx
-f- ix7 / 4 е= *§ 2. Если f е= L2{R), то функция 4х{t, х) = ехр (tS?2)f
(х) удовлетворяет уравнению = 3?2W, или idtW = -dxxW - х2гЕ/4, и условию
4х (0, х) = f{x\.
122 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Операторы W(g) = ехр {tS'2) U (s') ехр (-13?2) образуют группу унитарных
операторов симметрии последнего уравнения, т. е. уравнения линейного
репульсивного осциллятора ((3) в табл. 5); соответствующие
инфинитезимальные операторы ехр (t3?2)y? ехр (-13?2) суть операторы
первого порядка по х и t. Наконец, рассмотрим оператор Ж - Ж-2- Ж\ - -
