Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
и поэтому нормированные собственные функции запишутся в виде
С)(х) = 1пЧ2л)1/22"} 1/2ехр(- х2/А) Нп(х/л/2), (1.34)
где Нп(х)-многочлен Эрмита (Б.12). Функции {Д4)} образуют о. н. базис в
L2(R).
Из (1.34) следует, что
и поэтому ехр (2п2'з) = - Е, где Е - единичный оператор в L2(R). Однако
если бы операторы ехр (аЖ) порождали глобальное унитарное представление
G2 в L2(R), то в силу (1.17) мы должны были бы иметь ехр (2л 3?з) = Е. В
самом деле, можно показать, что экспоненты операторов Ж приводят к
глобальному неприводимому представлению односвязной накрывающей группы
С?2 группы G2.
Для описания этой накрывающей группы рассмотрим сначала топологию
многообразия SL (2, R) (см. (1.8)),
i?sf = kf, (-дхх + х2/4 )f = kf,
ехр (2п2'3) = ехр [- 2ш (п + 72)] /("4) = - ff,
Полагая
2fl = a+fl + /(Y-P), 2& = -<х + в + /(у + Р),
(1.35)
2.1. Уравнение Шредингера (idt + х) =0 125
мы замечаем, что комплексные числа а и b удовлетворяют тождеству
I а |2 - | Ы2 = 1. (1.36)
Обратно, если а = а.\ + ia2, b = bi-\-ib2 - два числа,
удовле-
творяющие соотношению (1.36), то по формулам (1.35) получаем единственную
матрицу A^SL(2,R) с элементами а = = с* 1 - Ъ\, Р = -й2 -)- Ь2, у = <х2 -
)- Ь2, 6 = о.\ -)- Ь\. Из (1.36) следует, что топологически многообразие
SL (2, R) можно отождествить с гиперболоидом
а2х +a2 -b] -b2 = 1.
Баргманн [11] дает иную параметризацию SL(2,R). Он полагает
[i = b/a, co = arg а, -• л < со ^ л (mod 2л). (1.37)
Из (1.36) следует, что |р|< 1. Таким образом,
а = е'т (1 - | р |2)-1/2, b = еш\1 (1 - | р |2)_1/2. (1.38)
Мы можем записать As=(p, со), |р|<;1, -л < со ^ л, и параметризовать
SL(2,R) при помощи величин р и со. Групповое произведение можно
представить следующим образом. Если А = (р, со) и А' = (р', со'), то АА'
- (р", со"), где
р" = (р + р'е-2'")(1 + рр 'e~2ia)~\
со" = со + со' + [ 1/(2/)] In [(1 + ppV2'") (1 + ppV'")_1], (1'39)
причем In 2 означает главное значение логарифма (In(ге1в) = = 1п г -]-
ДО, г > 0, -я < 0 ^ я), а со' определяется по mod 2л. Легко проверить,
что р, со являются соответствующими параметрами группы Ли [120]. Мы можем
топологически охарактеризовать SL(2,R) как произведение открытого круга
|р|< 1 и окружности -л < со ^ я, mod 2л.
Универсальная накрывающая группа SL(2,R) группы SL(2,R) -это группа Ли с
элементами
SL (2, R) = {{р, со}: | р | < 1, - оо < со < оо}.
Здесь разным значениям со соответствуют различные элементы группы.
Групповое умножение определяется по формулам (1.39), за исключением того,
что теперь со" не определяется по
mod2n. Имеется гомоморфизм SL(2,R) в SL(2,R), определяемый соотношением
{р, со} -*¦ {р, со}, причем элементы {0, 2пп},
п = 0, ±1, ±2, ..., группы SL(2,R)-это в точности те элементы, которые
отображаются в единичный элемент (0, 0) группы SL (2,R).
126 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Наконец, легко проверить, что элементы группы SL(2,R) можно представить в
виде
{ц, со} = {0, - 0/2} {г, 0} {0, со + 0/2}, ц = ге", (1.40)
и если г> 0, -л < 0 ^ л, то это представление единственно.
Теперь непосредственно покажем, что экспоненты операторов Ж дают
глобальное унитарное неприводимое представление односвязной накрывающей
группы G2 группы G2. В самом деле, на основании известных рекуррентных
формул для многочленов Эрмита легко убедиться в том, что операторы 57,
Й2, Йз, действуя на базис {f)t4)}, определяют принадлежащее к дискретной
серии приводимое представление алгебры sl(2,R). (Мы докажем эти
рекуррентные формулы в разд. 2.2.) Оператор Казимира (й[ -f- Й2 - Йз)
принимает значение, равное -3/ie- Как показал впервые Баргманн [11] (см.
также [120]), это представление алгебры Ли продолжается до глобального
унитарного приводимого представления SL(2, R).
Аналогично операторы 5i, Ч?2, Й3, действуя на базис {/^4)}, определяют
неприводимое представление (Я,/) = (-'/2, 1) алгебры Ли группы
гармонического осциллятора S [83]. Это представление алгебры Ли, как
известно, также порождает глобальное унитарное неприводимое представление
группы S [81, 87]. Из соотношения (1.40) следует, что каждый оператор на
SL(2,R) может быть записан в виде
ехр (- (0/2) Й3) ехр (- тЙ[) ехр {[0/2 + со] Й3},
где 2т = In [ (1 -f- г) /(1 - г) ], причем ехр (0Й3) принадлежит S;
поскольку Й - оператор первого порядка, экспоненту которого легко
вычислить, можно проверить, что в общем случае соотношения (1.18) имеют
место. (Для этого мы заменяем Т(А) на ехр(-(0/2)Йз)ехр(-тЙДехр {[0/2 +
со]Й3} и используем соотношения (1.35), (1.37), (1.38), (1.40), чтобы
выразить а, (1, у, б в правой части (1.18) через 0, т, со.) Формулы
(1.19) определяют G2 как полупрямое произведение SL(2, R) и W\. Поэтому
наше представление (§2 продолжается до глобального унитарною
представления U группы <32, которое неприводимо, поскольку неприводимо
U|S.
Унитарные операторы U (g) в L2(R) легко вычислить. Оператор
И (и, v, р) = ехр([р + "у/4] <^) ехр ("й2) ехр (ийО, определяющий
представление W\, принимает вид
