Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
104
Если подставлять сюда полные («тотальные») выражения, то полученная энергия соответствует сумме канонических выражений для всех полей, если же подставить чисто гравитационные, то мы получим аналог суммы канонического квазитензора гравитационного поля и симметричного тензора других полей.
Кроме того, мы добавим к пяти требованиям Мёллера шестое:
VI. В квазиньютоновском приближении теории Эйнштейна плотность, энергии гравитационного поля должна переходить в соответствующее выражение теории Ньютона (принцип соответствия).
Принцип соответствия между теориями тяготения Эйнштейна и Ньютона сыграл важную роль для понимания общей теории относительности (см. § 3,5, а также анализ в книге Фока), однако он до настоящего времени не применялся в энергетическом аспекте. Как нетрудно показать по аналогии со случаем электростатики, плотность гравитационной энергии і* теории Ньютона имеет вид
w.v = - — (grad ф)*. (3.8.12),
ол/у
Другим путем тот же результат был получен Ландау и Лифшицем (Теория поля, 1960, стр. 377). Отрицательный знак этой энергии есть выражение факта существования лишь сил притяжения между положительными массами [см. также знак правой части уравнения (3.5.10)].
Для того чтобы проанализировать следствия требования VI (третий: аспект принципа соответствия), мы используем наиболее близкий к ньютоновскому точный вариант гравитационного поля — поле Шварцшильда (приводя также данные для общего случая диагональной статической метрики). Сравним хронометрически инвариантный и неинвариантный случаи. Из лагранжиана (3.1.1) следуют выражения (в нашем случае):
М“°° = 2^1ЙГ®,0'*”8^’ (3-813^
(3.8.14>
Нековариантный лагранжиан (3.1.3) дает в этом случае тот же результат, что “у-матричный и тетрадный лагранжианы:
Mvo:
1l/ Soo „ Mx* (л уМ\
----Zr)' (3-8Л5>
Так как в хронометрически неинвариантном подходе плотность энергии
определяется здесь как
Tizrio
w = Mo, і
(3.8.16)
[сумма канонического гравитационного квазитензора и симметричного тензора источников, см. (3.8.6)], то из (3.8.13) мы получим
Wg = ^6(r), (3.8.17)
т. е. вывод, что квазитензор 1958 года дает плотность гравитационной
энергии, равную нулю везде, кроме начала координат; из (3.8.15) следует
VM2
wv = M6(r) + -|^. (3.8.48)
105
Ж последнем случае мы получили распределенную в пространстве энергию, плотность которой, однако, положительна± что противоречит (3.8.12). .Действительно, если взять ньютоновский потенциал
уМ
Ф= (3.8Л9)
то (3.8.12) дает уМ*
(3.8.20)
(ср. это выражение и (3.8.18)!).
Перходя к хронометрически инвариантному подходу, заметим, что исевдотензор Эйнштейна ввиду плохих трансформационных свойств непригоден для конструирования интересующих нас выражений. Согласно
(3.8.10) получим для лагранжиана (3.1.1)
. !+л*
в',‘0 = ~І7Г7Г--------ТГ <3'8'21)
16я г3
2 г
н плотность энергии
Y M
I-JfLY*. (3.8.22,
Ienr4V 2r ) ’ v '
27
которая на больших расстояниях от начала имеет верный знак,, но по модулю в два раза меньше требуемого значения. В случае же (3.8.15) получим
6,- = --(1+,^) (3.8.23)
JO H—fl+lH)
Ая г3
H
у M \ , у M2
W?U - п/и і л I » \ X /„\ А
Мы авидим, что тем самым требование VI удовлетворяется автоматически в случае Y-матричного и тетрадного лагранжианов, а также, как легко видеть, кватернионного и двуметрического в том случае, когда для последнего вторая метрика принимает галилеевы значения в изотропной системе координат (3.3.40). При этом мы пользовались калибровкой Y‘MaTPH4> принятой в § 3.3, или соответствующей калибровкой тетрадных векторов. Подчеркнем, что оба выражения — и (3.8.22), и (3.8.24) — соответствуют распределенной в пространстве энергии, причем в коэффициентах при 6-функциях стоят принципиально разные выражения (мы не будем здесь критиковать расходимости получающихся выражений с формальной точки зрения, так как для реальных тел вблизи начала координат должно иметь место другое решение уравнений Эйнштейна). Окончательный выбор выражения для энергии проводится на основании этих й-членов. Вспоминая выражение (3.3.61), а также имея в виду, что в состав плотности хронометрически инвариантной энергии вследствие (3.8.6) и метода построения хронометрических инвариантов входит член
^=-Tn0 = м(\ +^— )б(г), (3.8.25)
Igm 4 2г I
106
мы сразу же можем отметить его точное совпадение с соответствующим слагаемым в (3.8.24), но не в (3.8.22).
При вычислении интегральной энергии (массы) системы, называемой полем Шварцшильда, необходимо иметь в виду, что вблизи начала координат («центр частицы») применение классической теории гравитационного поля в пустоте является чрезмерной идеализацией. С одной стороны* в столь малых областях необходимо перейти к квантовой теории, где свойства пространства-времени будут резко отличаться от макроскопических (см. § 6.2). С другой стороны, все частицы должны, по-видимому, обладать пространственной структурой (в тех рамках, в которых применимо само понятие пространства). Следовательно, внутри этой структуры применять решение Шварцшильда в вакууме было бы незаконно уже в классической теории. Поэтому разумно предполагать, что в некоторых достаточно малых (но значительно превышающих величину шварцшильдовско-го радиуса) окрестностях начала координат гравитационное поле отличается от поля Шварцшильда и что там это поле достаточно регулярно, чтобы можно было применять теорему Гаусса. Тогда, переходя к поверхности, окружающей нашу систему, и устремляя эту поверхность к бесконечности, мы получим следующие выражения для интегральной энергии поля Шварцшильда: из (3.8.13)
