Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Rf12l2 = J-2Ri2iz. (3.9.15)
Этот закон как нельзя лучше согласуется с формой (3.9.9), принимающей ДЛЯ компоненты Jf?1212 ВИД
Ri2i2 =-Rg/2, (3.9.16)
поскольку детерминант метрического тензора в нашем случае равен
g = g 11Е21 — (?12)2, (3.9.17)
так что плотность скалярной кривизны можно переписать в виде
У—gR — <2/?i2i2 / V—g• (3.9.18)
Заметим, что в этом параграфе мы рассматриваем мир в целом, не выделяя пространственных и временной координат, так что использование греческих индексов здесь не предполагает того, чтобы они пробегали че-. тыре значения.
Ю9
Перейдем к случаю п = 3. Теперь число компонент как тензора Pb-мана — Кристоффеля, так и тензора Риччи равно 6, так что каждый иф них можно выразить с помощью другого (и метрического тензора); вспомним, что в двумерном случае все выражается через скалярную кривизну. Символ Леви-Чивиты обладает здесь тремя индексами, и к свойствам тензора Римана — Кристоффеля (3.9.3) следует добавить тождества Риччи
а также тождества Биаяки. Однако антисимметризация сразу по четырем индексам должна давать тождественно нуль в силу числа измерений мира-например,
(левая часть антисимметрична по индексам Я, р, (о и є). Умножим теперь это выражение на Eox^gm^zg^ и воспользуемся соотношением
После простых преобразований получим искомое выражение тензора Римана — Кристоффеля через тензор Риччи (и через скалярную кривизну* также, очевидно, выражающуюся через тензор Риччи):
Мы видим отсюда, что тензор Римана — Кристоффеля обращается в нуль всюду, где равен нулю симметричный тензор энергии-импульса, т. е. в отсутствие других полей и вещества пространство — время должно быть плоским — гравитация должна отсутствовать. Иначе говоря, гравитационное взаимодействие в 3-мерном мире не может передаваться через пустоту, без какого-либо посредника (если придерживаться ортодоксальной эйнштейновской трактовки гравитации), и там невозможны,, например, планетные системы наподобие солнечной.
Простейшим случаем (в смысле минимальности числа измерений), когда наиболее характерная черта наблюдаемого нами мира реализуется j(no крайней мере, в эйнштейновской интерпретации!), т. е. когда гравитационное поле обладает самостоятельностью и действует через пустое (как в смысле отсутствия вещества, так и других полей) пространство, является случай 4 измерений — реально существующий 4-мерный мир оказывается простейшей возможной «конструкцией» в духе Эйнштейнае
1 Отсюда видно, что в этом случае тензор конформной кривизны Вейля тождественно равен нулю.
¦йцуЯрЄрд>А, — О»
(3.9.19)
(3.9.20)
Е»™Ёош = — 6 or jaStv + 6^6<Л
(3.9.21)
RaxXp — RffpgxX “1“ RxXgop RffXgip — gGkRxp “Ь iIzHigffXSxp gffpgxx) •
(3.9.22)
Эта связь существует лишь в мире с тремя измерениями*. Уравнения Эйнштейна
(3.9.24)
(3.9.25)
(3.9.23)
и
RlAV ---- К (TlIV gIivT) J
так что выражение (3.9.22) для RoxXp можно переписать в виде RoxXp = %[ TapgxX + TxXgffp
ToXgxp TxpgoX “Ь T (goXgxp — ?рсг?тЯ,)].
(3.9.26)
AAQ
4. ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ (КРОМЕ ГРАВИТАЦИОННОГО)
4.1. Электромагнитное поле Максвелла: лагранжиан и уравнения
Описание в общей теории относительности наряду с гравитацией электромагнитного поля не составляет трудности, по крайней мере, если исходить из принципа экстремума действия и из связи между тензором напряженности электромагнитного поля и 4-потенциалом. Так как эти величины не включают (как можно думать) вторых производных метрического тензора, сначала полезно использовать локально геодезическую систему координат, в которой для величин такого рода существует полная параллель со случаем частной теории относительности. Мы можем тогда принять определение 4-потенциала через его компоненты в 3-мерной электродинамике:
Тензор напряженности, как обычно, выражается через производные 4-потенциала (в виде
(мы записали здесь и явно тензорную форму напряженности). Связь между компонентами тензора напряженности и трехмерными электрической напряженностью и магнитной индукцией (величинами, как известно, родственными друг другу и традиционно называемыми по-разному) выводится следующим образом:
Fо і — Ait с — Aot і -A1t о — Aqj і —
Тогда в хронометрически инвариантной форме (см. § 8.9) можно строго (не переходя к локально геодезической системе) определить
(4>*) -> (ф, А),
так что
(4„) -> (<Р> —А).
(4.1.2)
(4.1.3)
= — (ЗА / dsfi + grad <р)* = Ei 1
jh == Bijh-Aj,h ^ Bijk-A^k = (rot А) г = В*.
(4.1.4>
и
(4.1.5)
(4.1.6)
и
Bi = --EijhF^
(4.1.7)
или
Bi = — L EW^Fjh + ~ (FDjgoh — Fokgoj) ].
(4.1.8)
Ilt
Здесь аксиальный тензор Леви-Чивиты 3-мерного мира равен
Eijh = ^ = fb ет, (4.1.9)
Vgoo
где b — детерминант 3-мерного метрического тензора Ъ
Для удобства и симметрии записи ряда выражений можно ввести дуальные величины [общие определения см. в (8.2.28) — (8.2.32) ]; а именно, пусть тензору F1*v дуально сопряженным будет аксиальный тензор
= -І. E^Fliv (4.1.10)
di
шобратно
—^EyMhpxF^v = % % Fjav = F |av. (4.1.11)
