Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
11bEi = — ^~gFQi =— — К, (4.2.45)
г
что сразу же подтверждает справедливость уравнения (4.2.22) вне начала координат (обсуждение особенности в начале см. ниже). Конечно, можна было бы непосредственно исходить из формы (4.2.45) и подставлять в 3-мерные уравнения (4.1.58), когда локальное вращение системы отсчета отсутствует (поле Райснера — Нордстрёма).
Обратимся к топологическим аспектам полученного решения. Здесь, как и в случае решения Шварцшильда (3.3.40) [в которое решение (4.2.40) переходит при К = 0], «точка» г = 0 не является в обычном смысле точкой, так как описанная вокруг нее окружность при г 0 не стягивается в нуль (длина окружности не стремится к 0, а, напротив, становится бесконечно большой). В самом деле, на основании формулы (3.3.51) мы получим
dX= г
т т2 — q2
г 4 г2
так что длина замкнутой окружности равна
гіф, (4.2.46)
т ж2 — q2 г 4 г2
(4.2.47)*
принимая свое минимальное значение^
Xmin = 2я (т+I Ут2 — 52) (4.2.48)'
при значении радиальной координаты
літ2 — а2
гтщ = —2~— (4.2.49)1
и обращаясь в оо при г = 0 и г = оо.
Здесь снова применимо преобразование «выворачивания» координат;
примем для этого
2xj 2 г
V = -==; P = "У —...............-г, (4.2.50)-
Ym2 — q2 Ут2 — q2
так что экстремальное значение (4.2.49) соответствует р = 1. Тогда преобразование «выворачивания» записывается в виде
In = Iі/P2, Р'=1/Р (4-2.51)
или
V = IVp'2, р = 1/р', (4-2.52)-
1215
причем
Г7р' = 17р, (4.2.53)
.а
Ж'к I / tiEft V г і fit'k -і
^=^(s<‘-2V)-pT‘‘-2-?H ti2M>
И
/= —р/6= -р-6. (4.2.55)
При K = О это преобразование совпадает с преобразованием «выворачивания» в мире Шварцшильда. Относительно записанного преобразования форм-инвариантны все функции вида
т2 — a2 Tfm2 — q2 ^m2 — q2 1
<42-56)
и подобные им. Поэтому относительно этого преобразования форм-инва-JpnaHTeH квадрат интервала (4.2.40), если учесть, что свойством форм-ин-
вариантности обладает также величина ^ Кроме того, очевидно, форм-
инвариантен относительно преобразования «выворачивания» электрический потенциал (4.2.39), так что мы опять столкнулись в решении уравнений Эйнштейна с миром, распадающимся на два идентичных асимптотически плоских мира, соединенных перемычкой, середина которой находится в «точке» (4.2.49).
К глобальным вопросам, как мы сейчас увидим, относится и вопрос об ,источниках поля Райснера — Нордстрёма. С одной стороны, «электрическое» уравнение (4.2.22), имея в виду решение (4.2.45), следует более ^корректно переписать как
2 Faiti = -KA — = 4лЙГ6 (г), (4.2.57)
Г
г
-откуда видно, что «заряд» источника равен К, так что
K= ]/-д. (4.2.58)
УС
Однако этот заряд, согласно уравнению (4.2.57), локализован в «точке» г = 0, т. е. на бесконечности «внутреннего» мира. Можно, однако, переформулировать правую часть (4.2.57) так, чтобы источники поровну разделились между «наружным» и «внутренним» миром.
Вид источников гравитационного поля можно выяснить, исходя из уравнений (3.3.18). Если сохранить все коэффициенты, мы получим на промежуточном этапе уравнение (т = 0).
Ae** (AR — Y (R')*J = 2%Т& = ие2(Л+Т)(ф')2 + 2кТ?°0 (4.2.59)
зместо (4.2.30). Для того чтобы корректно подставить сюда метрику
Райснера — Нордстрёма (4.2.40), можно учесть соотношение
M/2)= 2/А/ + 2(f)2 (4.2.60)
си следующее из него формальное равенство
д4=-тб(г)+^-’ (42-61)
122
либо пользоваться до конца выкладок дифференцированием по декартовым координатам. Прежде всего можно переписать (4.2.59) в виде
Tn = 7г \ е2й (А/? - Y (ЯУ) • (4-2-62)
Функция R нам известна:
*—*(‘+т+т)- <**“>
Подстановка ее в правую часть равенства (4.2.62) при учете сделанных замечаний дает после несложных вычислений
1 + т* — <12
„о 8ят 2 тг ... „ а/.
8W- <4-2'М>
1 + т + т«-)
Полученная форма неэлектромагнитных источников гравитационного поля Райснера — Нордстрёма напоминает аналогичную величину для поля Шварцшильда (3.3.61) и переходит в нее, если положить
q = 0, пі = —. (4.2.65)
2
Теперь полезно выяснить вид источника электрического поля Райснера — Нордстрёма. Для этого мы воспользуемся уравнением для электрической напряженности в хронометрически инвариантной записи. Действительно,
F0ili = -V-?/0, (4.2.66)
откуда
(JbEi)ti =-?<»,{== К (—) =-АяК8(г). (4.2.67)
' г ' лл
Так как плотность наблюдаемого заряда (хронометрически инвариантное выражение) равна
P,= ]/—/о = J0, (4.2.68)
#00
то из сравнения соотношений (4.2.66) и (4.2.67) следует
Pe=-AstKb(I). (4.2.69)
Мы видим, таким образом, что в данной задаче заряд действительно сосредоточен в начале координат и его плотность имеет 6-образный вид. Таким образом, решение Райснера — Нордстрёма весьма аналогично известному потенциалу Кулона в обычной электростатике.
Для того чтобы проанализировать проблему энергии на примере системы электромагнитного и гравитационного полей в простейшем случае метрики Райснера — Нордстрёма, можно использовать общие выражения для случая диагональной статической метрики, приведенные в § 3.8, (3.8.13) — (3.8.15), в средних частях этих формул.
