Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
M Г =1-gAeF«\
J1W _ JLpafiFafigVy — F^FaXghv,
4
Ua“ = F“P)P4a + FctMa5H,
t„“ = Taa — Uaa = FImAllfa — Ldaa ~ FaP рАа.
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
AMaat = y—gAv;V (Аадаг — А*6аа) ,
1
ATlfiv == — — (Aa;a)2g»v + Aa;a,x(g^Av + PxAv- — g^Ax).
(4.2.5)
( 4.2.6)
И
(4.2.8)
L = —1-1[AkvAw> - AvAvRv*] - ~
(4.2.9)
117
Замечая, что симметричный тензор энергии-импульса (4.2.2), полученный из теоремы Нётер, в точности совпадает с выведенным примитивным образом из уравнений Максвелла (5.4.10), мы должны сделать вывод о глубокой внутренней согласованности различных частей теории. Этот тензор играет роль источника гравитационного поля, так что система уравнений, описывающих самосогласованные гравитационное и электромагнитное поля (в отсутствие источников последнего), имеет вид
1 Г 1
R^ — — 6v»R = % FwFav — — 8v»F<*VFafi
2 L 4
F^v = 0
(4.2.10)
(4.2.11)
(уравнения Эйнштейна — Максвелла).
Найдем теперь решение этих уравнений в статическом сферически симметричном случае [решение Райснера (1916),*Нордстрёма (1918) и Вейля (1918), обычно называемое решением Райснера — Нордстрёма]. Это решение в высшей степени аналогично решению Шварцшильда, так что мы будем исходить из уже отлично зарекомендовавших себя уравнений
(3.3.18) для случая диагональной метрики.
Соображения сферической симметрии и статического характера задачи позволяют предположить, что в этом случае
(4.2.12)
(4.2.13)
(4.2.14)
(4ц) = (ф, О, 0, 0),
ТО
Зг
и = 0 J
так что
Foi = —Ф,
F и
_ Xі
Foi = — — Ф
Вспоминая вид метрического тензора, выбранный в § 3.3, получаем Ton=-----------S*"*°°(*<о):2 = -у е*Л+Г)(ф')*
и
1 г
ТУ == — 2 FohFoh - FOiFoi = e%R+T) (q>') 21
X1X1
L Г2
Я.
Поэтому при т = 0 уравнения (3.3.18) дают
дя--1(я')2 = ^е2т(ф')2,
а при т = к
~~ AT AR + T^h + R^,k + 2 R,hT,u + R,kR,k +
Г xhxh
+ (Ty-T9hTh = -хв2Г(ф')2 j
н-
Lr2 9
Последнее уравнение, так же как (3.3.32), разбивается на два: AT + AR — (Г) г---------— (Г + Д) '= — — е2Т (ф') 2
V 2
(4.2.15)
(4.2.16)
(4.2.17)
(4.2.18)
(4.2.19)
AT + R-(Tf)2 + (Rf) 2 - — (Т + R)' + ITfRf = - (ф')2
(4.2.20)
118
сравнивая которые, получаем
Д" + -^-(Д — T)' + T'R' = 0. (4.2.21)
Обратимся теперь к уравнениям Максвелла (4.2.11), принимающим при используемой форме потенциала (4.2.12) вид
2 F0V = 0. (4.2.22)
г
Подставляя сюда выражение напряженности через потенциал (4.2.14), получаем уравнение
Аф + (Г - R') ф' = 0, (4.2.23)
которое можно переписать в виде
(1пф')'+ —+ (Г —Д)' = 0. (4.2.24)
Г
Первый интеграл этого уравнения получить просто; он равен
Ф'=4еЛ_г’ (4-2-25)
тде К — постоянная интегрирования. Тем самым мы выразили напряженность электромагнитного поля через функции RnT1 определяющие гравитационное поле:
Foi^-^-Ken-T. (4.2.26)
Г3
Подставим выражение (4.2.25) для ф' в уравнение (4.2.17). Мы получим уравнение исключительно для функции R:
1 кКг
ЛД - -J (Я')2 = ^*2R; (4.2.27)
при этом полезно помнить, что
AR E= R" + -L Я'. (4.2.28)
Тогда подстановка
R = —In а (4.2.29)
приводит к уравнению
2 Ia'2 %К2
а H-----а'-—---------= , (4.2.30)
г 2 а 4/? v '
-а вторая подстановка
а~Уг (4.2.31)
ж уравнению
2 Ir кК2 1
у" + -у' = — [С(у'2г2 + 2у'уг + у2)------------J , (4.2.32)
•обе части которого, очевидно, обращаются в нуль при . . т YtK2
V=i+Yr' (4-2-33)
119
В дальнейшем мы введем величину q:
q2=AC. (4.2.34)
Возвращаясь к уравнению (4.2.21), мы можем воспользоваться в нем подстановками (4.2.29) и
T = In а — In р, (4.2.35)
в результате чего получим
а" + —а'
6' 1 m2-g2
— =--------------=------і--------------. (4.2.36)
P . , а 2г3 , m2-g2 V '
а +— 1------------——
г 4г5
Это уравнение интегрируется без труда: т2 — а2
р = 1-------^r-‘ (4-2-37>
Вернемся опять к электромагнитному полю (строго говоря, здесь мы имеем дело с одним лишь электрическим). Его потенциал теперь может быть записан в виде
( п*-?\
К В К \ 4г2 /
Ф ——J \ — ~а—, 1 2 ІТЇ' (-±.2.38)
г2 а2 (\ 171 — ® ]
\ г ^ 4г2 /
Эта функция легко интегрируется и дает
я» =--------------—2-----Г = Ао- (4-2-39>
— Q1
г + т-\----------—
^ ^ 4г2
Подведем итоги проделанных вычислений. Квадрат интервала для поля Райснера — Нордстрёма имеет вид
/ i т*-д* \
ds2 = ------------—z--------2 - (I + — + ) V (4.2.40)
I т т2 — q2 J \ г 4г2 /
\ г 4Г2 /
а компоненты контравариантного метрического тензора равны
g°o = e*T=\ ---------r 2 4J - I (4.2.41)
то то2 — g2 \ 2
4 г2
= (1 + Г + ^)-\ (4.2.42)
Переходя к 3-мерному вектору электрической напряженности E (4.1.6), можно записать:
120
і ——к
Ei = ^L=------------------—-----------. (4.2.43)»
Vjf°° /1 і т от2 — g2 \3 \ r J
По той причине, что корень из детерминанта 3-мерного метрического тензора равен
,— / т т2 — а2 \3
yfe=(l+_ + __JL), (4.2.44),
плотность вектора напряженности Ei равна просто
