Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Cm. (Дж. Дарвин, 1965), где обсуждается этот вопрос и приведена литература.
7* 99
гравитационных волн, переносящих энергию (и информацию). Во всяком случае, проблема гравитационной энергии никак не может рассматриваться как область чисто абстрактного исследования, и связь гравитационной энергии с реально протекающими в космических масштабах процессами несомненна.
Первое определение плотности гравитационной энергии принадлежит Эйнштейну; это — псевдотензор (3.7.17). Как видно из равенства (3.7.16), его сумма с симметричным тензором энергии-импульса других полей точно сохраняется:
Первоначальный вывод этого закона основывался на преобразовании тензорного закона «сохранения» для T>v,
ставить в виде дивергенции суперпотенциала (3.7.14). Учет уравнений
(3.8.3) часто характеризуют как процедуру исключения негравитационных переменных. Псевдотензор Эйнштейна сразу же подвергся критике. В 1918 г. Бауэр нашел, что в пустом плоском мире в декартовых координатах как плотность, так и интегральная величина энергии, вычисленные с помощью этого псевдотензора, равны нулю, но при переходе к сферической системе (неподвижной относительно предыдущей) плотность энергии становится отличной от нуля, а ее интегральное значение — бесконечным! Появилось сомнение в правомерности понятия локализации гравитационной энергии. Этот беспрецедентный случай вызвал острую полемику. Эйнштейн признал, что его псевдотензор пригоден лишь в случае замкнутых (островных) систем, причем необходимо, чтобы на бесконечности координаты становились истинно декартовыми. Если, однако, взять свободно падающую систему отсчета (локально геодезические координаты) , то в ее начале символы Кристоффеля, а вместе с ними — псевдотензор Эйнштейна, обратятся в нуль, так что здесь определенная с его помощью плотность гравитационной энергии оказывается равной нулю. Отходя от этой системы отсчета, мы можем по своему желанию найти другие системы, в которых в той же точке плотность гравитационной энергии в эйнштейновском определении будет иметь любой наперед заданный знак. В 1918 г. Шрёдингер исследовал значения компонент U р. для решений Шварцшильда и Райснера — Нордстрёма и обнаружил, что существуют системы координат, в которых все компоненты UiT сразу обращаются в нуль. Несмотря на эти недостатки формулировки плотности энергии, Эйнштейн привел решающие доводы в пользу ее применения для расчетов интегральной энергии (Эйнштейн1, работы 47 и 51), показав, в частности, что плотность энергии гравитационного поля при взаимодействии тел не может быть повсюду обращена в нуль. Так возникло и до недавнего времени продержалось убеждение в принципиальной нелокализуемости энергии гравитационного поля.
1 В ссылках на работы А. Эйнштейна указаны номера работ в тт. I и II его «Собрания научных трудов» (см. Эйнштейн, 1965—1966).
(Tfjx “Ь ^А|і) ,V------ 0.
(3-8.1)
TfJA; V = Т„ц V TfA, ГHV = О, при учете уравнений Эйнштейна в форме
(3.8.2)
100
Лоренц (1916) и Леви-Чивита (1917) выдвинули требование о тензорном характере 1 гравитационной энергии, предложив для ее плотности величину TgIiv. Так как в силу уравнений Эйнштейна можно записать соотношение (2.4.56), то вместо тензорного закона сохранения для T^v можно записать равенство с аффинной дивергенцией:
TlHVv=O. (3.8.4)
Эйнштейн подверг это предложение резкой критике на том основании, что «сохранение» величины, всегда равной нулю, не содержит никакой полезной информации: оно говорит лишь, что уравнения Эйнштейна, удовлетворявшиеся вначале, должны удовлетворяться и впредь.
С точки зрения получения интегральных величин, определенных в системах, декартовых на бесконечности, совершенно неважно, какими плот-ностными весами обладают эти величины. Только в этом случае применим псевдотензор Ландау — Лифшица — Фока и псевдотензоры Голдберга, рассмотренные в конце предыдущего параграфа. Однако ясно, что эти величины, будучи аффинными плотностями веса, иного, чем +1, не могут обеспечить локализациоиных свойств для энергии. Что касается основной идеи при конструировании этих псевдотензоров — их симметрии, то это свойство вводилось авторами в целях получения закона сохранения момента импульса без явного учета спина полей. Понять это стремление можно лишь как продолжение старых, доквантовых традиций, когда возникающее при вычислениях классической теории поля (выражение для спина (получавшееся еще в десятых годах этого века) отбрасывалось ввиду отсутствия его интерпретации. Нам кажется, что явный учет спина придает теории более глубокий физический смысл, и этого нельзя игнорировать.
Более тесно, чем в предыдущих подходах, связываются свойства сохранения, суперпотенциалы и общие свойства инвариантности (теорема Нётер) в работах Бергмана и сотрудников (Шиллера, Голдберга и др.) 2. Кроме трехиндексных суперпотенциалов, Бергману удалось таким образом сконструировать двухиндексные (антисимметричные по этим индексам), так что плотность сохраняющейся величины оказывается контравариант-ной векторной плотностью. Процедура, с помощью которой это достигается, достаточно проста. В основном соотношении Нётер (2.4.20) вектор g*4 полагается не произвольным, а приравнивается некоторому конкретному, имеющему определенный физический смысл вектору (например, вектору Киллинга; мы будем продолжать обозначать его через Iм*). Тогда первая скобка в (2.4.20) обратится в нуль слабым образом (вариационные производные для лагранжиана), и выражение, стоящее под знаком дивергенции, будет точно сохраняться в дифференциальном смысле. К тому же это выражение является, как мы ©идели в § 2.5, плотностью контравариантного вектора. В том случае, когда лагранжиан не содержит вторых производных потенциалов, плотность биспина в (2.4.20) исчезает, и в силу соотношения (2.4.26) стоящее под знаком дивергенции выражение само может быть представлено в дивергенциальной форме — через суперпотенциал с двумя свободными индексами:
