Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
? Aa — AxRka = —]а. (4.1.46)
Обратно, уравнения для тензора напряженности электромагнитного поля, следующие из лагранжиана (4.1.35), имеют вид
— A^ + AxRka = —/®. (4.1.47)
До настоящего времени нет экспериментальных указаний на то, какие из этих уравнений (и лагранжианов) следует предпочесть; однако в общей теории относительности по преимуществу пользуются лагранжианом
(4.1.32) и соответствующими ему уравнениями (4.1.41), (4.1.42). Достоинство этих уравнений состоит в том, что из них просто на основании свойств симметрии тензора без использования предположений о конкретной калибровке потенциала, следует закон сохранения заряда
JV = 0; (4.1.48)
точно так же из тождеств Бианки следует равенство нулю ковариантноя дивергенции симметричного тензора энергии-импульса в уравнениях гравитационного поля Эйнщтейна.
Кроме уравнений для напряженности, следующих из вариационного принципа, существуют еще уравнения, которые могут заменить свйзь между тензором напряженности и 4-потенциалом (4.1.3), а именно
Fnv,A, -f- Fk\ij/ Н“ FvAjjx = 0, (4.1.49)
или, что то же,
Fnv;A “К Fkvy “Ь Fvk][i ==? 0. (4.1.50)
Существуют еще две эквивалентные формы записи этих уравнений:
*^v;v = 0 (4.1.51)
и
* F^vv = о, (4.1.52)
8* и 5
явно демонстрирующие тот факт, что число этих уравнений равно 4, и в высшей степени аналогичные динамическим уравнениям электромагнетизма (4.1.41):
7^v;v = -/1S (4.1.53)
или, что то же,
F^v = — І*1. (4.1.54)
Уравнения (тождества) (4.1.50), с одной стороны, полезны для введения волнового уравнения для напряженности электромагнитного поля:
тр ; X гг ; X тр ; А г ; X п I ^ тр Da ^
F p.v; А — F Xp.; V г vA; р — ^ Ap ; v Г vA ; p. Г ap.-**- Av*
- FxaRav.* - FaxRaJ. - FvaR\\ (4.1.55)
откуда
UF|xv = “f“ /V;JJ, aiJtv* "4“ F avR^ "4“ Fa^R. p,v. (4.1.56)
Мы исключили здесь дивергенции тензора напряженности, пользуясь уравнениями (4.1.41). Кроме того, здесь можно исключить и тензор Риччи, исходя из уравнений Эйнштейна, и заменить его на симметричный тензор энергии-импульса электромагнитного поля.
С другой стороны, уравнения (4.1.50) могут служить для вывода выражения симметричного тензора энергии-импульса, что обсуждается в на' чале § 5.4. Этот тензор, который мы введем другим путем в следующем параграфе, имеет след, равный тождественно нулю. Поэтому, если воспользоваться уравнениями Эйнштейна и предположить отсутствие всех полей, кроме гравитационного и электромагнитного, можно просто заменить два члена в уравнении (4.1.56):
FaiJtva - FaJlv* = —2nFaiJ?vfiF**. (4.1.57)
Разная форма уравнений, описывающих распространение напряженности (4.1.56) и 4-потенциала (4.1.42), не приводит, однако, к противоречиям в отношении распространения световых іволн, как можно показать непосредственным расчетом (см., например, Эддингтон, 1934).
В заключение запишем уравнения Максвелла в 3-мерной хронометрически инвариантной форме, наиболее близкой к эксперименту:
div E = 4яр + ©В; дЕ
rot В = Anj H----------- -f DE — [BG]
дт
(4.1.58)
ж
div В = — (оЕ;
rot E = - — - DB - [EG], (4.1.59)
дх
Здесь появляются эффективные электрический и магнитный (!) заряды, если перейти к неинерциальным системам. В приближенной форме такие уравнения были получены в плоском мире Барабаненковым (1959) и Tep-лецким (1960).
4.2. Сохраняющиеся величины и решения для системы электромагнитного и гравитационного полей
Так как сохраняющиеся величины сами по себе играют фундаментальную роль, а одна из них, а именно симметричный тензор энергии-импульса, служит источником гравитационного поля, так что ее учет необходим при анализе последнего, мы начинаем этот параграф с перечисления сохраняю-
116
щихся величин электромагнитного поля (или, точнее говоря, его динамических переменных). Эти величины различны для разных лагранжианов, которые могут отличаться друг от друга не просто на дивергенцию, но и на дополнительный член, пропорциональный левой части калибровочного условия Лоренца (4.1.31).
Для лагранжиана (4.1.32) можно записать тогда, пользуясь общими определениями § 2.4:
Величины, следующие из лагранжиана (4.1.34), отличаются от только что выписанных на члены, пропорциональные дивергенции 4-потенциала и градиенту этой дивергенции; мы приведем здесь эти добавки к выписанным выше величинам, ограничившись (4.2.1) и (4.2.2.), так как остальные могут быть легко получены с их помощью:
Ясно, что при калибровке Лоренца все величины, следующие из этого лагранжиана, совпадают с величинами, полученными из стандартного лагранжиана (4.1.32).
Третий лагранжиан, (4.1.35), дает
Такое различие между величинами, следующими из лагранжианов (4.1.34) и (4.1.35), неудивительно, так как эти лагранжианы, в отличие от случая плоского мира, в общей теории относительности различаются не просто на дивергенцию. Именно, лагранжиан (4.1.34) можно привести к виду
где, кроме дивергенции, присутствует, в отличие от формы (4.1.35), член с тензором Риччи. Важно, что такого рода член взаимодействия с гравитационным полем приводит к появлению в выражении для спина (4.2.7) но-вых [по сравнению с (4.2.1) и (4.2.5)] членов, не исчезающих и в плоском мире (!). Эта ситуация, как мы увидим, характерна для общей теории относительности; а именно, эффекты метрики играют фундаментальную роль в определении динамических переменных, и имеют место случаи, когда, например, спин поля целиком обусловлен взаимодействием этого поля с метрическим полем (гравитацией), даже когда гравитация (но, разумеется, не метрика) отсутствует (см. § 4.6).
