Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме этого недостатка квазитензора 1958 года, существует и другой его недостаток — он не удовлетворяет мёллеровскому требованию IV (см. критическое обсуждение этого требования в конце § 2.5). Если подходить к вопросу о фиксации наблюдаемых, характеризующих распределенные системы, на световом конусе в духе Бома (см. § 2.3), то необходимость в требовании IV отпадает, однако тогда невозможна полная аналогия с существующей частной теорией относительности. Мы думаем, что решающим пунктом в критике квазитензора 1958 года является несовпадение сингулярной части в правой стороне (3.8.6) при подстановке решения Шварцшильда с выражением для источников в этом случае [см. (3.3.61)].
Сформулировав в 1960 г. все пять своих требований, Мёллер одновременно доказал теорему, что, исходя в определении канонического квазитензора из метрического тензора и его первых и вторых производных, в принципе невозможно удовлетворить сразу всем требованиям. В связи с этим возник вопрос о практическом выборе гравитационного потенциала, так как недостаточность метрического тензора можно понимать как недостаточность его 10 компонент (10 функций). Исследователям пришлось отойти от традиционной формулировки теории гравитационного поля Эйнштейна и заняться поисками новых «потенциалов» этого поля. Первые успехи на этом пути принадлежат самому Мёллеру, обратившемуся к тетрадному формализму, в рамках которого он удовлетворил всем сформулированным здесь требованиям. Полученный им при этом квазитензор (3.7.21), записанный нами одновременно в у-ша.т^жчяош представлении, а также эквивалентный ему кватернионный квазитензор (3.7.23) и дают указанный результат. Однако они неинвариантны относительно локальных поворотов тетрадных векторов (на языке ^-матриц — относительно преобразования подобия, зависящего от координат), так что локализуемость гравитационной энергии в этих работах была признана с оговорками. В самом деле, взяв определенную калибровку тетрад или ^-матриц, легко даже в плоском мире получить отличное от нуля значение плотности гравитационной энергии (в том числе бесконечную интегральную энергию), что вполне соответствует парадоксу Бауэра в нековариантном подходе
103
Эйнштейна. Подобный же парадокс возникает и © двуметрическом формализме Розена, развивавшемся Пугачевым, Колером, Гутманом и Мицкевичем, а затем в применении к проблеме энергии вновь Розеном (Труды Международной конференции по гравитации и теории относительности, Варшава, 1962). Мёллер пытался устранить эту неоднозначность, вводя дополнительные условия, накладываемые на поле тетрад (в духе единой теории поля). Мы предлагаем базироваться либо на условиях типа Лоренца (см. § 4.8), либо на конкретной формулировке принципа Маха. Действительно, можно положить в случае островной модели, что
гд© ?nv[я, Та^] — метрический тензор, являющийся решением уравнений Эйнштейна для данного распределения источников Tafi. Предельный переход (3.8.8) однозначен, если пределом для соответствующих граничных условий однозначным образом является плоская метрика. Подобная же формулировка принципа Маха возможна и в тетрадном и ^-матричном формализмах, где в пределе плоского мира в декартовых координатах должна браться простейшая калибровка тетрад или матриц Дирака. Тем самым реализуется привилегированная система отсчета (с точностью до перехода к другим «инерциальным» по отношению к ней системам), обусловленная мировым распределением и движением материи, в чем и состоит принцип Маха. Если же взять с самого начала пустой мир, то задача оказывается, как и следовало ожидать,, неопределенной. Однако существует и другой подход, основанный Рыловым,— теория относительного гравитационного поля, использующая мировую функцию Синга и рассматривающая касательные в некоторой «опорной точке» к риманову миру плоские пространства. Можно считать, что в опорной точке размещается наблюдатель. При этом, как показал By Тхань Кхиет, гравитационная энергия может локально менять знак в зависимости от того, как выбирается эта опорная точка.
В духе анализа 4-мерного мира как совокупности проявляющихся в опыте пространства и времени, что отражает формализм хронометрических инвариантов Зельманова (см. § 8.9 и обсуждение с этой точки зрения законов сохранения в конце § 2>3 и 2.4), необходимо, чтобы наблюдаемые величины были хронометрически инвариантными 3-мерными скалярами или тензорами (у последних наблюдаются лишь 3-мерные инвариантные комбинации). Поэтому третье требование Мёллера необходимо переформулировать, например, в следующей форме1
III. Энергия элемента 3-мерного объема dE = wadSa, должна быть хронометрически инвариантным 3-мерным скаляром.
Тогда согласно соотношениям (2.4.84)-(2.4.86) энергия просто выражается через суперпотенциал:
Єцу — Iim guv [и, Уар]*
х О
(3.8.8),
я лв0 TTаа
Wtr = 6, a = 0, a,
(3.8.9)
(3.8.10)
или (антпсимметризованная форма)
Qaa = ~ (Moaff - Moffa) + -i=- (Nop* - Noapff ), р + 2ygoo ЗУ#оо
(3.8.11)
1 Cm. также новую формулировку требований Мёллера (Мёллер, 1966).
