Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
І
h? — ЗОС2 4C ’
(3.6.48)
(3.6.49)
так что теперь мы выбрали в качестве независимого параметра h. Выясним прежде всего смысл параметра р, фиксировав его и Ti и устремив
Рис. 4. Отклонение луча света в поле точечной массы
гравитационное поле к нулю — «выключив» его (С-^0, 1/е-^0).
При этом
н-*- (I/ р) cos (гр — сх). (3,6.50)
Это — уравнение прямой, где р — прицельный параметр относительно начала координат. Заметим, что на основании (3.6.30)
h = Iim г2
Йф
dt
Г-+OO
Как видно из рис. 4, rcfcp = sin 0 • dS.
(3.6.51)
(3.6.52)
Если же учесть, что скорость света равна 1, то ds2 = 0, a dS / dt = 1, так что
dtp
г—— = sin0. dt
(3.6.53)
(3.6.54)
Подставляя это выражение в (3.6.51), получаем h = Iim (г sin 0) = р.
Г-+0О
Поэтому в (3.6.46) угол j$ определится из равенства cos P = 4С / р > О,
и поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно взять этот угол в первой четверти (рис. 4). Из уравнения (3.6.47) видно, что фотон находится на бесконечности, когда один из косинусов обращается в нуль. Мы скажем, что это происходит соответственно для первого и второго косину-
91
сов при «углах» % и tyn. При этом одновременно должны выполняться два двойных неравенства
я; \Ь — а 4- R я
H---^ --------^ ^---------- (3.6.56)
2 2 2 v '
и
я it — а — 6 я
^ ^-------P _ _ (3.6.57)
2 2 2 17
(так как переменная гг всегда неотрицательна). Предположим, что ¦.-» + (! = я
2 2 V
И ^LZLr^=-.-^. (3.6.59)
2 2 V /
Легко проверить, что неравенства (3.6.56) и (3.6.57) при этом выполняют-
ся. Отсюда
% — “фц = 2 (я — р), (3.6.60)
и с необходимой степенью точности
4С P
Приближенно представляя arccos Щ в виде
фі — фи = фі — фи = 2 — arccos-^- У (3.6.61)
^ 71 ^ /о е ео\
arcccs-----= —---------------, (o.b.bz)
P
получаем
4упг
6 = фі — <ри — я = —-. (3.6.63)
рс2
Подставляя сюда в качестве прицельного параметра радиус Солнца р = 7-Ю10 см, массу Солнца т = 2-IO33 а, гравитационную постоянную Ньютона и скорость света, находим окончательно
б = 1",75. (3.6.64)
Результаты наблюдений, выполняемых во время полных солнечных затмений, дают эффект примерно на 20% выше предсказываемого, но это может быть связано с трудностями наблюдения, в частности с неспокойствием земной атмосферы при дневных наблюдениях. Конечно, такие наблюдения следует вынести за пределы земной атмосферы.
В заключение нужно заметить, что последний эффект (в теории Ньютона) был рассчитан Зольднером (1801) (см. также статью Вебера в сб. «Гравитация и относительность», 1965), который получил ровно половину эйнштейновского значения угла, на который отклоняется луч света. Иногда говорят, что вторую половину дает «искривление пространства»; это неверно, та,к как легко проверить, что эта вторая половина эффекта целиком обязана чисто релятивистскому характеру фотона, и что для ульт-рарелятивистских объектов тяготение «возрастает» вдвое. В действительности искривление пространства связано с обоими эффектами.
9Я
3.7. Гравитационные сохраняющиеся величины
В общей теории относительности понятие энергии физических полей имеет двоякий смысл: с одной стороны, это — источник гравитационного поля, стоящий в правой стороне уравнений Эйнштейна, и тогда собственно гравитационная часть (пропорциональная консервативному тензору Эйштейна) не причисляется к нему. С другой стороны, энергия понимается как точно сохраняющаяся величина, т. е., в наиболее симметричном случае, как несимметричный (игра слов!) канонический квазитензор полной системы полей, включая гравитацию. С точки зрения проблемы локализации энергии и вообще понимания ее физического смысла важно знать, насколько однозначно определяется ее значение из физических соображений (уравнений поля и т. п.) в малом. Источник гравитационного поля, т. е. симметричный тензор энергии-импульса, определяемый с помощью вариационной производной (2.4.52) или,, в слабом варианте (2.4.51), с очевидностью инвариантен как относительно алгебраических замен потенциалов, так и относительно добавления к лагранжиану дивергенциаль-ных члено®, если полагать вариации (а по мере необходимости и их производные) равными нулю на границе в принципе действия; такая инвариантность может быть проверена непосредственными вычислениями и независимо от принципа действия. Поэтому распределение энергии как источника гравитационного поля однозначно диктуется уравнениями физических полей.
Для того чтобы подобным же образом проанализировать определение канонической энергии, перепишем прежде всего соотношение (2.4.20) в форме
Перейдем от потенциалов Ab к некоторым новым потенциалам а&, от которых старые потенциалы зависят алгебраически. Тогда
причем первый член в (3.7.1) не изменится, что легко заключить из принципа действия:
Поэтому не изменится в целом и выражение,, стоящее в квадратных скобках. Так как мы произвели замену потенциала, а не координат, то «обмен» между коэффициентами при gar и не может иметь места. Таким
