Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ee = §'Mj0Cisi = М/2; нз (3.8.15)
Ey = § ШуІ0 ds і = М; из (3.8.21)
§ Qg^dsi = MfA-, и из (3.8.23)
Eyb= § Q^dsi = M.
Здесь мы учли, что элемент сферы интегрирования равен
dsi = XiT sin BcbpdB, (3.8.30)
и в дальнейшем устремляли г к бесконечности. Полученные результаты очевидны сами по себе, однако полезно напомнить здесь об одном обстоятельстве. Мы видим, что выражения (3.8.27) и (3.8.29) соответствуют
V требованию Мёллера. Это требование по существу состоит в том, чтобы энергия системы была равна ее гравитационной массе (скорость света равна единице), иначе говоря, это требование как бы замыкает в единое целое принцип эквивалентности массы и энергии частной теории относительности (где под массой понимается инертная масса) и принцип эквивалентности инертной и тяготеющей масс общей теории относительности; этот объединенный принцип мы будем называть принципом эквивалентности Галилея — Этвёша — Эйнштейна (см. его квантовое обсуждение в § 7.3). В то время как несколько иной принцип эквивалентности, связанный с так называемым «лифтом Эйнштейна», бесспорно утратил свою роль в современной теории гравитации (см. Фок, Синг), принцип Галилея — Этвёша — Эйнштейна оказывается связанным с проблемой энергии л совершенно нетривиальным.
(3.8.29)
(3.8.26)
(3.8.27)
(3.8.28)
107
3.9. О числе измерений физического мира
Прежде чем перейти к анализу свойств других физических полей, остановимся на характерных различиях в ситуации, складывающейся для гравитационного поля при выборе числа измерений физического мира, меньшего четырех (включая время!). По-видимому, факт четырехмерно-сти нашего мира сам по себе содержит важную информацию и не является тривиальным, хотя мы о нем так редко задумываемся. Конечно, можно отказаться рассматривать этот вопрос, попросту постулируя, что физический мир обладает четырьмя измерениями; однако такой подход, в сущности, повторяет концепции Канта об априорности нашего представления о пространстве и времени — концепции, устаревшие хотя бы в связи с принципом Маха.
В этом параграфе мы сделаем первые шаги в указанном направлении и отметим, что конкретные выводы из свойств гравитационного поля, связанных с числом измерений мира, могут быть довольно просто истолкованы физически.
Конечно, использование всего-навсего одного измерения дает чрезмерно бедную картину мира, не содержащую даже понятия кривизны; поэтому с точки зрения теории гравитации Эйнштейна (в рамках которой проводится этот анализ) случай п = 1 следует отбросить.
При п = 2 в качестве символа Леиви-Чивиты следует взять двухин-дексщдй символ Sliv, которому должна быть пропорциональна любая ко-вариантная антисимметричная величина, т. е. если
Avlv = —(3.9.1)
то
= йЕц\. (3.9.2)
Тогда тензор кривизны Римана — Кристоффеля в силу свойств1
•ffp/vXp = -RvnXp = HvlvqX (3.9.3)
записывается в виде
R[ivXp = К • 8p,v8Ap. (3.9.4)
Однако по аналогии с равенством (1.40)
1
8p,v8xp = “ (Siixgvр SWSvx) (3.9.5)
или
е^єяр = 6^6pv — бр W, (3.9.6)
так что 2
p = — {SiiXgv p giipgvi). (3.9.7)
8
Производя двойное свертывание, находим связь К со скалярной кривизной
Д=~, (3.9.8)
1 Тождества Риччи не имеют смысла при и = 2, как и тождества Бианки,— все они выполняются тогда не в силу структуры тензора кривизны, а просто ввиду числа измерений, равного двум.
2 Мы считаем детерминант метрического тензора отрицательным, что, между прочим, позволяет не только диагонализировать, но и антидиагонализировать этот тензоре
108
что позволяет более удобно выразить тензор Римана — Кристоффеля как
RnvXP = — — (gvibgvp ?np?vb) , (3.9.9)
а тензор Риччи — как
Rixv = -Jg^. (3.9.10)
Из последнего равенства следует тождественное обращение в нуль консервативного тензора Эйнштейна в двумерном мире:
GjLiv = -Rnv “р“ giwR = 0. (3.9.11)
Если смотреть на эти хорошо известные выводы с точки зрения уравнений гравитации Эйнштейна, то мы должны принять, что в двумерном мире симметричный тензор энергии-импульса всех полей должен быть равен нулю:
T7ftxv = 0. (3.9.12)
Иначе говоря, в двумерном мире могут существовать лишь такие физические поля, у которых нет энергии и импульса (по крайней мере, как источников гравитационного поля) и которые поэтому не взаимодействуют с гравитацией (не могут быть ее источниками). Подчеркнем, что эти заключения верны только в том случае, если придерживаться ортодоксального эйнштейновского подхода к гравитационному полю.
Из выражения (3.9.4) следует, что тензор Римана — Кристоффеля в двумерном случае обладает лишь одной независимой и не равной нулю компонентой, в качестве которой можно выбрать Дігіг. Закон ее преобразования (обычный тензорный!) имеет вид
, Г/ дх1 \2/ дх2 \2 / Oxi \ 2/ дх2 \2
1212 L\ дх'Ч \ дх'2 ) "^1 л дх'2) \дх/1 )
дх1 дх1 дх2 дх21 ^
~ 2ох'1 дх'2 дх'1 дх'* I 1212’ (3.9.13)
тогда как якобиан обратного преобразования равен в двумерном мире
, л дх1 дх2 дх1 дх2
= дх'1 дх'2 - дх'2 дх'1 ’ (3.9.14)
так что