Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
276
действием негравитационной силы. Координатная сила описывает соответствующее изменение за единицу координатного времени. Поэтому 1J и § пропорциональны друг другу, причем коэффициент пропорциональности равен отношению (10.66) стандартного и координатного временных дифференциалов. Теперь из уравнений (10.98) при і = ja = I, 2, 3 видно, что ^ описывает изменение канонического импульса Pll за единицу координатного времени, обусловленное негравитационным действием. Поэтому <5 будем называть канонической силой. Из определений (10.71) и (10.100) двух сил Я и 5 и соотношения (9.297) между Fll и Fn получим следующую зависимость между координат-.ной и канонической силами:
Iv = 1S — y(^u)/c*> (10.101)
откуда
3ur=(3u)(l—уи/с*)^1. (10.102)
Из (10.98) при і = 4 получаем закон сохранения энергии Н:
dH/dt =—dL (гЛ Л t)[dt + % и* (10.103)
Таким образом, изменение полной энергии Н, обусловленное действием негравитационной силы на отрезке траектории частицы между точками 1 и 2, равно работе канонической силы:
Дьг (1,2) = Ц %uHdt = (10.104)
і Ї
С учетом (10.46) и (10.48) соответствующее изменение кинетической энергии равно работе стандартной силы
As.r {1,2) = ^dx11. (10.105)
1
В общем случае Л„.г (1,2) Ф Ан.т (1,2).
В СТО динамическое воздействие на частицу с постоянной собственной массой может быть описано одним вектором силы и ее работой. Причиной введения в СТО нескольких 3-векторов и их соответствующих работ является нелинейность энергий и сил как функций от гравитационных потенциалов. Однако во времени ортогональной системе координат (или при малых скоростях, когда можно пренебречь величинами порядка уи/с*), все эти трудности значительно уменьшаются, поскольку каноническая сила совпадает с координатной силой:
$ = <5; ^T-U = SrU; ЛН.Г(1,2) = ЛП.Г( 1,2) = J (10.106)
1
Для частицы, покоящейся в данной системе отсчета, H сводится к энергии покоя H0 частицы в поле, которая с учетом (10.95), (10.69) и (10.84) равна
Fl0 = т0 с*2 = in0c2(I + 2%/^)1'''2 = E0 (I + 2п//с2)1/2, (10.107)
где
Е0 = т0сс* = т0с2 = Ё0 (10.108)
— собственная энергия частицы. Если скорость частицы мала, то, разлагая H в ряд по и:с и ограничиваясь величинами второго порядка малости, получаем
H = Н0-{-т() и2/2. (10.109)
Таким образом, при нерелятивистских скоростях H равна сумме энергии покоя частицы в поле и нерелятивистской кинетической энергии частицы с массой
277
покоя m0. В случае слабого поля, когда %/с2 С 1, (10.109) сводится к ньютоновскому выражению для энергии частицы в поле плюс собственная энергия, т. е.
H = т0 с2 + т0 и2/2 + m„ X- (10.110)
Последняя величина в (10.110) представляет собой ньютоновскую потенциальную энергию. Соответствующая формула при условии больших скоростей и сильных полей имеет вид
H = E+ V, (10.111)
где потенциальная энергия
V — Е{(\ +2%/с2)1^2— 1) (10.112)
в общем случае зависит не только от координат, но и от скоростей, но для покоящейся частицы уравнение (10.112) принимает вид
Vr0 == т0 с2 {(1 + 2х/с2)112—I} = ZZ0—т0с2\= т0с*2—т0с2. (10.113)
В стационарном поле эта потенциальная энергия покоя имеет простой физический смысл. Чтобы понять его, вычислим работу, которую необходимо произвести против гравитационной силы, при адиабатическом, т. е. бесконечно медленном перемещении частицы с собственной массой т0 из фиксированного положения 1 в другое фиксированное положение 2 в жесткой системе отсчета
R, соответствующей стационарной координатной системе S. В соответствии
с уравнениями (10.76) и (10.77) это означает, что мы должны приложить к частице негравитационную силу которая в любой момент времени почти уравновешивает гравитационную силу ^ , т. е.
$ + 0, и»0. (10.114)
Тогда из (10.78) следует, что кинетическая энергия частицы во всех точках ее траектории практически равна нулю, т. е. E = тйс2. Интегрируя (10.13) и учитывая, что L не зависит от времени, а и « 0, т. е. ^ = Sll, получаем
H0 {2)-H0 (I) = V0 (2)-V0 (I) = J S11 dxK (10.115)
і
Таким образом, потенциальная энергия покоя в любой точке стационарного поля равна работе координатной силы на адиабатическом перемещении частицы из фиксированной точки, где % = 0, в эту точку. Это согласуется с (10.114) и (10.173), (10.75), (10.84), которые для адиабатического перемещения дают
Зц = -? = т0 dyjdx* = т0 сгд (1 + 2%/с2)1 ^/дхк Лн.г (1, 2) = J ^ dx» = т0 Ci{(1 + 2%г/с2У112-(1 + 2x,7с2)1 '2>
(10.116)
Заметим, что работа стандартной силы не равна Лн.г (1, 2). Вместо (10.116) для адиабатического процесса с учетом (10.44), (10.41), (10.38) и (10.25), (10.26) получаем
5ц= —Йд= —Wi0 Лц = [ото/(1 +2%/с2)] д%/дх». (10.117)
В результате
\г(1,2)-$3^ = ет0с*1п [(l+2x2/c2)1/2/(l+2Xi/c2)1/2], (ЮЛ 18)
і
278
что отличается от Лн.г (1,2), за исключением приближения слабого поля, когда
обе эти величины равны т0 (%2 — X:)-
Теперь от лагранжевой формы уравнений движения мы можем обычным путем перейти к гамильтоновой форме. С помощью (10.91) и (10.92) в выражении (10.99) можно исключить скорость ф и получить гамильтониан H =
