Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
hv = const, (10.208)
кинетическая энергия
/iv = ftv/(l +2х/с2)1/г (10.209)
изменяется с изменением X- Поэтому если V (1,2) —• стандартная частота излучения в точке 1, измеренная в точке 2, то из (10.209) и (10.202) имеем
V (1, 2) = V I !+VgI1'1 =V0 '+Щ-Г, (10.210)
1 +2Хг/с2/ 1 —ие/с \ 1+2%г/С' J
при и = 0 получим
V0 (1,2) =SV0 [(1-f 2Xl/c2)/( I 4-2x2/c2)]t/2 (10.211)
т. е. формулу, описывающую эффект Эйнштейна. В общем случае, когда действуют оба эффекта (эффект Доплера и эффект Эйнштейна), имеем формулу (10.210).
В то время как стандартная частота V0 (1, 2) есть частота света, испущенного покоящимся атомом в точке 1 и измеренная в точке 2, V0 — соответствующая частота, измеренная в точке излучения. Таким образом, эффект Эйнштейна можно определить экспериментально, сравнивая спектральные линии источника в точке 1 и аналогичного источника в точке 2. В соответствии с (10.211) относительный сдвиг частот равен
Av0 „ v"o (1,2) — V-Q /1 +2xi/ca\1/2 t МП919Ї
Vl+2xa/c*j
10 Зак. 1174
289
Он имеет одинаковую величину для всех линий спектра. Это будет «голубое смешение», если Xi > и «красное смещение», если Xi < Xa- В дальнейшем будем считать, что %/с2 1- Тогда из (10.212) получим
Sv0/v0 = (Xi — Х-2)/с2. (10.213)
С помощью (10.107) и (10.115) относительный сдвиг частоты (10.212) можно также выразить через энергии покоя произвольного тела в точках 1 и 2 или через негравитационную координатную работу Ан_т (2,1) при адиабатическом перемещении тела из точки 2 в точку 1:
Av0 H0 (I)-H0 (2) _Л„.Г(2,1) .
V0 (2) H0 (2)
1
лн, (2,1) = ^vdxV.
(10.214)
С другой стороны, эту же величину можно выразить через соответствующую стандартную работу при адиабатическом перемещении, так как из (10..118) и (10.212) имеем
Av0/v0 = exp (Лн.г (2,1)/М0 са)— 1, (10.215)
где
і
Лн.г (2,1) dx*,
2
a M0 (произвольная) собственная масса тела. В приближении слабого поля выражения (10.214) и (10.215) в соответствии с (10.213) имеют вид
! 1
Sv0/V0 = J lStt dx»/M0 с2 = jj S11 dx*/M0C2 = (X1-X2)Zc2. (10.216)
2 2
Из (10.215) с очевидностью следует калибровочная инвариантность величины б V0/V0.
В данном случае эффект Эйнштейна объясняется потерей или приобретением фотоном кинетической энергии при его свободном падении от точки 1 до точки 2. Другую, по-видимому, более простую интерпретацию эффекта Эйнштейна можно получить, если рассматривать координатную частоту вместо стандартной [168]. Поскольку во время движения hv—постоянная величина (10.208), на участке движения от точки 1 до точки 2 координатная частота фотона не меняется. Однако согласно (10.206) координатная частота V0 определяется энергией покоя атома в гравитационном поле, в то время как стандартная частота V0 в (10.203) определяется соответствующей собственной энергией. Поэтому координатная частота фотонов, испущенных при некотором переходе атома из одного состояния в другое, зависит от гравитационного поля в точке испускания. Если V0 (1) и V0 (2) — координатные частоты излучения покоящихся атомов в точках 1 и 2, то с помощью (10.107),(10.108) н (10.203), (10.206) получим
V0 (I) = V0 (1 + 2ул/с*)1/2 = V0 (2) [(I+2^)/(1+2Х2/с2)],/2. (10.217)
Поскольку в любой точке координатная частота пропорциональна соответствующей стандартной частоте, их относительные сдвиги должны быть равными. В самом деле, учитывая, что на пути фотона от точки 1 до точки 2 дополнительного сдвига координатной частоты не происходит, из (10.217) получаем
Ay0 _ V0(I)-Vq(2) __/l+2xi/cay/3 J ПО 218)
V0 vD (2) \ 1 +2Ха/г'2 /
что согласуется с (10.212).
290
L соответствии с этой интерпретацией эффект Эйнштейна обусловлен изменением полной энергии покоя H0 при адиабатическом перемещении атома из одной точки в другую с различными скалярными гравитационными потенциалами. Согласно (10.115) в каждом стационарном энергетическом состоянии изменение H0 равно негравитационной (координатной) работе при адиабатическом перемещении атома в этом состоянии. Поскольку работа зависит от собственной массы атома, она будет различной для различных состояний атома,что является причиной зависимости Д#0 = H0—H0, а следовательно и v0, от положения источника в гравитационном поле.
Эффект Доплера определяется как часть полного сдвига частоты, которая обусловлена движением источника, а эффект Эйнштейна — как часть, обусловленная разницей гравитационного потенциала в точке испускания и в точке наблюдения. Следовательно, разделение этих двух эффектов не является релятивистски инвариантным. Может случиться так, что сдвиг частоты в одной системе координат будет чисто доплеровским, а в другой — чисто эйнштейновским эффектом.
Рассмотрим, например, источник света, движущийся в инерциальной системе с постоянной угловой скоростью со по круговой орбите радиуса г. В лоренцевой системе координат % = 0 везде, и сдвиг частоты является чисто доплеровским эффектом. Если наблюдатель находится в центре круговой орбиты, то скорость источника и = и перпендикулярна направлению е светового луча, и, в соответствии с (10.210), наблюдаемая частота v = v равна
