Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
ф = A (X) cos 2nF (X), (10.160)
где амплитуда A (X) в общем случае уже не постоянна, a F (X) не является линейной функцией Xі, т. е. волна уже не плоская. Однако во многих важных случаях волна (10.160) обладает тем свойством, что A (X) и компоненты отрицательного градиента от F (X)
Ki=-OF(X)IdX1 (10.161)
практически постоянны в некоторой области Q в окрестности произвольной точки P с координатами Хр. Тогда, разлагая функции F и А в ряд Тейлора по | — Xі — X1p, получаем, что внутри Q волну ф можно представить в виде
ф - A (P) cos 2я (—Ki (P) Iі—б), (10.162)
где А (P), б = —F (P) и Kj (P) — значения величин А, —F и К, в точке Р. Сравнение (10.162), с (10.155)—(10.158) показывает, что ф внутри Q представляет собой плоскую волну с частотой
v (P)= -CKi(P)= dF (P)IdT, (10.163)
так что величина X (Я)-1 равна длине 3-вектора Kil (P). Величины А (P), Ki (P) являются медленно меняющимися функциями Р, и если размеры области Й. внутри которой они могут рассматриваться как постоянные величины, достаточно большие по сравнению с Я, и c/v, то мы находимся в сфере применення геометрической оптики. Необходимое условие для этого— однородность (практически) среды внутри области Q. Для данной (сплошной) среды это условие
283
ісегда выполняется при достаточно коротких длинах волн. В геометрической оптике фазовая функция —(X) называется эйконалом.
Теперь рассмотрим случай плоской монохроматической волны в вакууме. В лоренцевой системе координат она описывается волновыми функциями
(10.155) — (10.158), где w ~с, п = е и постоянные А, 8 и Ki удовлетворяют соотношению (10.159). Если с помощью общего преобразования (8.42) ввести произвольную систему 5 координат (Xі), то волновая функция г|> в 5 будет иметь вид
¦ф = А (х) cos 2nF (х), (10.164)
где F (х) — (нелинейная) функция от Xі, полученная из линейной функции
(10.156) заменой лоренцевых координат. Отрицательный градиент скаляра F (х) с ковариантными компонентами
Ki^- dFIdxi (10.165)
является нулевым вектором, поскольку в новой системе S с метрическим тензором gih соотношение (10.159) принимает вид
Ki Ki = ^k(OFfdxi) dF/dxk = 0. (10.166)
Сравнение (10.164) с (10.160) показывает, что распространение световой волны в 5, где присутствует устранимое гравитационное поле, аналогично распространению световой волны в инерциальной системе при наличии неоднородной преломляющей среды. Единственное отличие в том, что пространственная геометрия в системе отсчета R, соответствующей S, может быть неевклидовой. Согласно основному постулату ОТО, нет существенной разницы между устранимыми и неустранимыми гравитационными полями. Поэтому (10.164) — (10.166) можно рассматривать как общие выражения, описывающие распространение монохроматической волны в гравитационном поле. Во многих важных случаях и в подходящих системах координат величины A, Ki, gih в областях Q , больших по сравнению с длиной волны, практически постоянны, и можно применять приближение геометрической оптики.
Пусть теперь PwP' — два близких точечных события с координатами (Xі) и (х‘ -j- dxc). Тогда разность фаз в этих точках
dF = (dF/дх1) dx1 = —Ki dx>1 = -Ktl dx»—cK4 dt. (10.167)
Для двух событий в фиксированной точке отсчета, т. е, при dx11 = 0, это
дает
dF = —cKidt. (10.168)
Поскольку dF в этом случае равна количеству волн, прошедших через данную точку отсчета в течение промежутка координатного времени dt, величину
V = —CKi = dF/dt (10.169)
будем называть координатной частотой. В области применения геометрической оптики V — медленно меняющаяся функция координат.
Пусть Ki — сопряженный стандартный волновой вектор, Тогда в соответствии с (9.334) при = —F (х)
Ki = —dtF, (10.170)
где ді — оператор (9.336). Используя (9.138) и (9.299), формулу (10.166) можно привести к виду
Ki Ki = gih KiKk-TflVKixKv-{к,T = о. (10.171)
Пространственная часть стандартного волнового вектора есть калибровочноинвариантный вектор к с длиной
k=Y^W?, (10.172)
284
и из 0.171) следует, что Л4 = k. В результате
К1 = (№, k)\ I (10.173)
Ki=-OiF =(^, -k). J
Используя (9.336) и (8.130), а также (10.165), (10.169) и (10.173), получаем
Iz = OiF = FiOFjdxi- (1/с*) OFjOt = v/c*; (10.174)
<№ — Yli Oi F = Kll—Yn ^ = К р. — Yn v/c*. (10.175)
Теперь разность фаз (10.167) можно записать с учетом (9.318) и (9.330) в виде
dF =—Kidx1 = —k^dx^ + kcdt. (10.176)
При dx* = 0 это дает вместо (10.168)
dF — kcdi, (10.177)
откуда следует, что
v = ck = vj(l-\-2%/c2)1l2 (10.178)
есть частота волны в стандартной временной шкале. При dx*1 = 0 стандартный дифференциал времени (9.331) сводится к дифференциалу dx0, измеренному покоящимися стандартными часами, так как
dt=—Г4 dx*/c = dt Yl + 2%/с2 = dx0. (10.179)
Таким образом, стандартная частота (10.178) равна частоте волны, измеренной с помощью стандартных часов.
Фазовая скорость в направлении пространственного вектора dxv- находится из условия dF — 0. Если riv — единичный вектор в направлении dxто
