Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала произвольный процесс взаимодействия частиц, когда частицы до и после процесса можно считать свободными. Если область Q в 4-пространстве, где происходит процесс, настолько мала, что гравитационное поле в ?2 практически постоянное, то из принципа эквивалентности следует, что в таком процессе сумма 4-импульсов частиц сохраняется. Это выражается
4-векторным уравнением
(SPi)lt04 = (SPi)hoh (10.193)
или сопряженным стандартным уравнением
(SPf)Ha4=(SPj)lt0H- (10.194)
Теперь рассмотрим частный случай испускания фотонов атомом. В соответствии с основными положениями квантовой механики, атом может существовать в серии различных энергетических состояний, а фотоны испускаются при переходе атома с одного энергетического уровня на другой, более низкий.
Пусть E0 — полная энергия начального состояния, когда атом покоится
в некоторой инерциальной системе, а ?'0 — соответствующая энергия ко-нечного состояния. В соответствии с теоремой Эйнштейна (§ 3.5), собственные массы атома в этих состояниях имеют значения
W0 = EJc2; tn0 = Ebjc2e (10.195)
При известных скоростях атома в этих двух состояниях соответствующие импульсы и кинетические энергии получаются из (10.37), (10.38) или из (10.66)— (10.69). Если (р, ?) и (р, Е) — значения этих величин в начальном и конечном состояниях соответственно, то четыре закона сохранения (10.194) для рассматриваемого процесса, в соответствии с (10.16) и (10.192), принимают вид
р = р jThveIc = P+ hve/с*; (10.196)
E = EjThv. (10.197)
(10.192)
287
Аналогично уравнение (10.193) при і = 4 с учетом (10.15) и (10.190) дает
в том месте, где происходит процесс. Из соотношений (10.18) и (10.195) имеем
Исключая из этого уравнения р и Е, с помощью (10.196), (10.197) получаем
Решая это равенство относительно v и используя (10.199), находим, что
Если и стандартная скорость атома до процесса, то из (10.37), (10.38) и (10.95)
Очевидно, что V0 — стандартная частота фотонов, испускаемых первоначально покоящимся атомом. Поскольку стандартная частота есть частота, изме-
А. Л
ряемая покоящимися стандартными часами, то v и V0 должны совпадать с частотами V и V0 излучающего атома, находящегося в инерциальной системе и обладающего соответствующими начальными скоростями. Поэтому формула (10.202) для доплер-эффекта в произвольной системе 5 и в присутствии гравитационного поля формально совпадает с формулой (2.90) СТО.
Величина V0 в (10.203) определяет стандартные линии спектра испускания первоначально покоящегося атома. Эта величина не зависит, конечно, от гравитационного поля. С учетом отдачи атома в процессе испускания V0 в общем случае не будет равной AE0Ih,, а несколько меньшей. Однако для оптического спектра, когда ДE0 имеет величину порядка нескольких электрон-вольт и мала по сравнению с собственной энергией атома, имеющей величину -Л09 эв, эффектом отдачи можно пренебречь, и (10.203) совпадает с формулой Бора для частоты испускания
С другой стороны, в у-волновом диапазоне испускания свободного атомного ядра эта приближенная формула уже недостаточно точная (см. § 12.1).
В предыдущих рассуждениях мы использовали закон сохранения (10.197) кинетической энергии. Если мы теперь вместо этого используем выражение
H = H + hv
(10.198)
где H и Я — соответствующие полные энергии атома в гравитационном поле,
р I2—[Elcf= — ml с2 = —(Ё0/с)г.
(10.199)
Аналогично в конечном состоянии
(10.200)
(10.201)
рIE — uIc2, E = EjY 1 — и /с2. Поэтому (10.201) можно записать в виде
v = V0 (1 — и Ісг)хігІ( 1 — не/с).
(10.202)
Здесь
2?й ) *
(10.203)
A E0 — E0 E0.
v0 = AE0Ih.
(10.204)
288
(10.198) для полной энергии в гравитационном поле и соотношение (10.20), то получим формулу эффекта Доплера для координатной частоты:
V = v0 (1—и /с2)1/2/( 1—ие/с). (10.205)
Здесь
v0=({H0 + H0)/2H0)AH0/k = (\-AH0/2H0)AH0/h-, J (Ш 2Q6)
AH0 = H0-H0, J
а #0 и H0 — энергии покоя (10.107) атома в гравитационном поле для начального и конечного стационарных состояний соответственно. При пренебрежении
эффектом отдачи (10.206) сводится к
V0 = AH0Ih. (10.207)
Формулу (10.205) можно получить также из формулы (10.202), умножая ее иа У'\-\-2yJc1 и учитывая соотношение (10.178) между координатной и стандартной частотами, где х— гравитационный потенциал в точке испускания.
Стандартная частота (10.202) есть частота, измеренная с помощью спектроскопа, помещенного вблизи источника. Однако если измерительный инструмент размещен на некотором расстоянии от источника, где гравитационный потенциал X имеет существенно другое значение, то начинает проявляться еще один эффект — эффект Эйнштейна. Мы рассмотрим лишь случай стационарного гравитационного поля, когда можно ввести систему координат S, в которой gih не зависит от времени. Пусть Xt — скалярный потенциал в точке излучения, а 7,о — скалярный потенциал в точке наблюдения. Тогда наблюдаемая частота уже не будет равна частоте (10.202), так как на пути от точки 1 до точки 2 фотон ведет себя как свободно падающая световая частица. В отличие от полной энергии (10.190) фотона в гравитационном поле, которая в стационарном случае постоянна
