Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dx^ = dan^ (10.180)
и (10.176) принимает вид
I dF =—(?м ni1) da -f- kcdt. (10.181)
Приравнивая это выражение нулю, найдем стандартную фазовую скорость в направлении л:
w (n)=daj dt = kclkilnP. (10,182)
Групповая скорость, которая в вакууме совпадает со скоростью светового сигнала, равна фазовой скорости в направлении луча е. Поэтому если в (10.182)
положить п = е, то w (е) должна совпадать со стандартной скоростью светового
сигнала, которая в соответствии с (10.59) равна с. Отсюда следует, что
k^ev-jk= 1,
или
kp. — Iieu, = (v/c) C11 = (v/c*) Cu» (10.183)
т. е. калибровочно-инвариантный 3-вектор к коллинеарен направляющему вектору е луча. Подставляя (10.183) в (10.182), получаем, что
w(n) = cj(en). (10.184)
Из этого выражения видно, что стандартная фазовая скорость минимальна в направлении луча. Соответствующую коорОинатную фазовую скорость можно получить с помощью общего соотношения (10.57), связывающего стандарт-
285
ную и координатную скорости, но ее легко определить и из выражения (10.167), полагая dF = 0.
Теперь рассмотрим два события P и P' в двух близких точках отсчета р и р', для которых разность координат dx^ определяется формулой (10.180).
Если события P я Pr одновременны в смысле стандартной одновременности
(10.60), то фазовая разность (10.176) в соответствии с (10.183) и (10.184)
dF = —k^dx—(v/c) (en) do = —(v/^fn)) da. (10.185)
В «стандартном мгновенном снимке» волны эта величина представляет собой разность фаз в точках р и р'. Для тех значений da, при которых dF — целое число внутри ?2, волновая функция г|) одна и та же в точках р и р'. Наименьшее из таких значений da следующее:
A,(n) = a;(n)/v = c/v(en). (10.186)
Величина Я (п) имеет минимум при п = е, где е — направление луча, а соответствующее значение К (п) представляет собой (стандартную) длину волны
Я=А,(е) = w(e)lv = cjv. (10.187)
Из (10.173), (10.178), (10.183) и (10.187) получим следующие выражения для компонент стандартного волнового вектора:
= (<?ц V/c, — v/c) = [ejx, —v/c). (10.188)
Это выражение аналогично частно релятивистской формуле (10.157) для
вакуума, в котором w — с, п = е. Величины v, Я, к — калибровочно-инвариантны, в отличие от координатной частоты, которая, конечно, зависит от масштаба времени. 1 и v являются спектроскопическими длиной волны и частотой. Они определяются обычным путем с помощью стандартной измерительной линейки и стандартных часов, покоящихся в нашей системе отсчета. В локальных системах S (P), S (P) вектор Ki совпадает с волновым 4-векто-ром Ki-
В § 10.5 распространение света описывалось как движение световых частиц без учета волновых свойств. Поскольку в определениях (10.120) и (10.123) 4-импульса P1 и массы т специальный параметр К определяется лишь с точностью до произвольного линейного преобразования, эти формулы содержат произвольный постоянный множитель. Учитывая, что Pi и Ki в (10.165)— нулевые векторы, этот множитель может быть определен с помощью ковариантного условия
Pi==HKi, (10.189)
где h — универсальная постоянная. Если h — постоянная Планка, то световая частица с 4-импульсом Pi совпадает с фотоном, введенным Эйнштейном для объяснения фотоэффекта. Это следует из принципа эквивалентности, если векторное уравнение (10.189) записать в локальной лоренцевой системе (P) (4.52). В области применения геометрической оптики фотоны можно считать классическими частицами, чего в более общем случае сделать нельзя. Хотя соотношение (10.189) всегда справедливо, фотоны в общем случае будут иметь типичные квантовомеханические свойства бозонов.
Полагая в (10.189) і — 4 и используя (10.138), (10.169), получаем следующее выражение для полной энергии H фотона в гравитационном поле:
H = hv, (10.190)
где V — координатная частота. В стационарном случае H — постоянная. Это согласуется с тем, что в та колі случае координатная частота v одинакова
286
во всех точках траектории луча. Сопряженное с (10.189) стандартное векторное уравнение следующее:
Pi=HKi. (10.191)
Из этого уравнения с помощью (10.125), (10.173), (10.178), (10.188) получим следующие выражения для* импульса р и энергии E фотона:
р — hk = hve/c = hve/c*;
E = hck = hv.
Здесь v — стандартная частота, а е — направляющий вектор луча. Формулы (10.190), (10.192) соответствуют соотношениям (10.137) для световой частицы.
§ 10.7. Доплеровский и эйнштейновский сдвиги спектральных линий
В частно релятивистском рассмотрении эффекта Доплера (§2.9 и 2.11) мы пользовались лишь инвариантностью фазы волны, не обращая внимания на реальные процессы испускания света источником. Фактически формулы (2.70)—(2.72) являются прямым следствием 4-векторного характера волнового числа, выраженного соотношением (4.44). Аналогично можно рассмотреть эффект Доплера в ОТО, основываясь на общей инвариантности фазы и на стандартном 4-векторном характере величины Ki в (10.188) (см. уравнение (а) на стр. 291). Однако в данном разделе мы выведем эффекты Доплера и Эйнштейна путем непосредственного анализа процесса испускания фотонов атомом, а также влияния движения атома и гравитационного поля на этот процесс.
