Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В предыдущем параграфе мы выразили компоненты Pi, Pi стандартного 4-импульса через физические величины р и Е. Физическая интерпретация кон-травариантных компонент 4-импульса Pi вытекает теперь из (10.62),(10.67) и (10.68):
D PllIdt = т (— д%!дх^ — CdyllIdt + и1) +Sm,;
»nv = (с/2) (дуv/dx» — dy^ldxv); т = m0l( I — U2Ic2)1!2.
(10.83)
т0 =т0! Y1 Н-2х/с2.
(10.84)
P1 = т0 (dt/dx) dxl/dt = HidxiZdt = (рц, тс),
(10,85)
274
где т — координатная масса. Ковариантные компоненты Pi находятся с помощью (10.15) и (10.17):
(10.86)
Физический смысл этих величин станет ясным в следующем параграфе.
Упражнение. Решение парадокса Леффера [172]
При исследовании парадокса часов в § 8.17 было показано, что скорость часов C1 относительно системы S2 в момент времени t = т'2 меняется скачком от значения U- = ViIc1 до значения —v [см. (8.195), (8.196)]. Этот парадокс объясняется, если рассмотреть импульс и кинетическую энергию часов C1 в S2 непосредственно перед моментом времени %'2’, гравитационное поле в S2 описывается с учетом (8.162), (8.173), (8.183) формулами
Vnv = 6Jiv; Тц = 0 и 1+2 х/с3 =
= 0 +SxIc3)2 = [ch (firs/e)]- 2— 1 — th2 (gi2/c) = I-V2Ic2.
Показать, что координатная масса часов Ci в S2 в соответствии с (10.65), (10.67) тогда равна m_=m0/(I — V2Jc2). Следовательно, импульс и кинетическая энергия определяются как
р_ = т_ и- =—щ и/(1 — V2Jc2)--;
E^ —т,- сс* = т„с2/(1— о2/с2)’^.
Непосредственно после т'2, когда S2 является инерциальной системой, имеем т-ь = = т0/( 1 — tPJ<?)ll2, и+ = —V.
В результате р+ = р_, Е+ = Е-, т. е. при t— т'2> когда потенциал меняется скачком, импульс и кинетическая энергия непрерывны. Следовательно, причиной скачка координатной скорости является резкое изменение координатной массы от т_ до т+ при І = TV
В отличие от координатной скорости и, стандартная скорость и (10.32), очевидно, всегда непрерывна.
§ 10.4. Лагранжева и гамильтонова формы уравнений движения
В этом параграфе мы покажем, что уравнения движения (10.76) свободной частицы можно записать в лагранжевой форме [168]. В гл. 8 мы видели, что мировая линия свободной частицы может быть получена из вариационных принципов (8.93) и (8.97). Поскольку в последнем из этих уравнений подынтегральное выражение является однородной функцией первой степени от производной dx* Id1Kf вариационный принцип (8.97) выполняется при любом выборе параметра К. Если выбрать к равным t и умножить (8.97) на—т0с, то принцип Лагранжа примет следующую форму:
Іг
б jj L (и*, xi*, t)dt = 0, (10.87)
fi
где
L =—т0с[—gIkidxiJdt) dx,{Jdt]1^2 = —гщс2 dxjdt, (10.88)
или в соответствии с (10.62) и (10.65)
L = —т0с2/Г ¦— —т0с{(с*—Yfi ^)2 — Yu/v^ uv}1 /2. (10.89)
Здесь с*, Ytl и Ynv — известные функции от х11 и t. В (10.87) функции х* = = Xti (t), описывающие траекторию в системе отсчета R, варьируются так, чтобы 6x1а (t) = 0 при t = tx и t = іг. Соответствующие уравнения Лагранжа следующие:
d (SLjduix)Idl-dL/dx-v. (10.90)
275
Pi = (Pil-HIc);
Pvl = Pu + Th EJc\ Я = ?]Л+2х/с
Канонический импульс получается дифференцированием функции L (ы*\ х‘) по скоростям иР, что с учетом (10.67) и (10.65) дает
3L (и», Xі)Iduv- = т0с {(с*—Yv Uv) U11 + Ytiv ^v)/{(с*—-Yv Uv)2-и2}1/2 = Mull +
+ /TC(Cjfl--iYvMv) Yu- (10.91)
Кроме того, используя (10.68) и (10.86), видим, что пространственные ковариантные компоненты 4-импульса равны компонентам канонического импульса, т. е.
P Ja = Pu + Ey ці с = dL (ц>\ Xі)! дик (10.92)
Канонический импульс отличается от импульса р величиной, пропорциональной гравитационному векторному потенциалу y> что аналогично выражению из СТО
р = р + еА Ic
для канонического импульса частицы с зарядом е в электромагнитном поле с векторным потенциалом А. В соответствии с (10.92) уравнение Лагранжа
(10.90) можно представить в форме
dPJdt = dL[d;с“. (10.93)
Лагранжиан (10.89) можно теперь записать в виде
L=—т{(с*—Yu)2—ц2}> (10.94)
где т — координатная масса. Поэтому соответствующий гамильтониан равен H =PliU^ — L- ти2 + т (с*—yu) (Yu) + т {(?*—Yu)2—и2}» или с учетом (10.68) и (10.15)
H = тс* (с*—yu) = ?|Al +2х/сг = —CPi. (10.95)
Таким образом, величина H в (10.15) равна гамильтониану и может интерпретироваться как полная энергия частицы в гравитационном поле. В стационарном случае, когда gih не зависит от времени, L (иXf1) и H являются постоянными. В общем случае обычным путем с помощью уравнений Лагранжа
(10.90) получим
dH/dt=—dL(uv-,x^,t)!dt. (10.96)
Уравнения (10.93) и (10.96) можно объединить в одно четырехкомпонентное уравнение
dPi/dt = OL(UVtXi)IdXt (10.97)
которое с точностью до множителя Г-1 совпадает с уравнением (10.3) при
Fi = 0. Поэтому при наличии негравитационной силы уравнение (10.97) сле-
дует заменить уравнением
dP-Jdt—dL (и», х‘)Idxi = Si, (10.98)
где
Si=FiIT. (10.99)
Учитывая (10.1), компоненты можно записать в виде
ff. ==(?,- Sti UiiIc), Sti = Fjr. (ЮЛ 00)
Таким образом, чтобы описать все аспекты негравитационного действия, мы ввели три различных 3-вектора: стандартную силу ф (10.44), (10.39), координатную силу cS (10.76), (10.71) и вектор (10.100). Стандартная сила описывает изменение импульса за единицу стандартного времени, обусловленное
