Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
— H (Ptli, х>\ t) как функцию от сопряженных канонических переменных (Pilt х&) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой форме dPJdt = — d Wdxu-; dx4dt = дНIdPix и соответствующим выбором контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильтона —Якоби.
До сих пор мы предполагали, что собственная масса т0 постоянна. Однако все предыдущие рассуждения можно легко распространить и на случай переменной т0. Тогда вместо (10.3) имеем
DP-Jdx = Fh (10.119)
где F* — обобщенная 4-сила вида (4.68), для которой F*Ul ф 0.
§ 10.5. Распространение световых сигналов.
Принцип Ферма
В § 8.10 было показано, что мировая линия светового сигнала в вакууме описывается уравнениями (8.100), где специальный параметр X определен лишь с точностью до произвольного линейного преобразования. Полагая
dx* Idl = Pi, (10.120)
уравнения (9.100) можно записать в форме
dPjdX—(l/2)gkl> і (dxkldX) P1 = DPJdX = 0; (10.121)
gihpipk==pipi = о. (10.122)
Сравнение этих уравнений с (10.3), (10.5) и (10.6) показывает, что движение светового сигнала в гравитационном поле соответствует движению свободно
падающей частицы с 4-импульсом Pi и нулевой собственной массой, которую
можно назвать «световой частицей».
Уравнения (10.121), (10.122) эквивалентны сопряженным стандартным векторным уравнениям
DPiIdX = 0; (10.123)
IikP1Pk = PiV = о, (10.124)
которые аналогичны (10.11) и (10.10). Здесь
Pi = (pv} E!c) = dxl IdX = (dt/dX) dx11 dt;
Pi = {Pu, —Etc)
— стандартный 4-импульс световой частицы. Из (9.330) и (10.30) имеем
dx‘Idt = (dx^/dt, cdt/dt) = (wс* — lYix ш^), (10.126)
где Wfi = dxv/dt — координатная скорость световой частицы. Подставляя (10.125) и (10.126) в (10.124) и используя (9.299), получаем
Yttv ^ Wv—(е*—Ysl ти-)2, = 0
или
W= Yy\ivwu-wv = с*—Yw (10.127)
279
(10.125)
в соответствии с (8.68). Положим
т = di/dk, (10.128)
тогда из (10.125)—(10.127) получим следующие выражения для импульса и кинетической энергии световой частицы:
р = mw; E — тш. (10.129)
Следовательно, т представляет собой (релятивистскую) координатную массу световой частицы. Аналогично, полагая
m = dtjdk, (10.130)
получаем
p = mw; E = Tnc2, (10.131)
где
Wil =dxv Jdt = CwV-1 (с*—у w) =Cwv-Jw; j (10 132)
ny = |w| — с J
— стандартная скорость, а т — стандартная масса световой частицы.
Умножение (10.123) на dkJdi приводит к стандартным уравнениям движения, соответствующим уравнениям (10.42), (10.43) для частицы с конечной собственной массой. Однако для нас более интересна координатная форма уравнений, получаемая умножением (10.23) на dkldt. Это дает по аналогии с (10.69)
DPiIdt = Sii, (10.133)
где Ri получается из (10.73), (10.75) и (10.72), если положить: uv- = wv-, иР= = wv-, а с* — уи = с* — Yw = w- Следовательно,
$ т (w2 a Jс*2 -f 2oiM,v auv wjc); \
(10.134)
Й'4 = — w Jc = —цwv-Jw = -Eiallw>*-)/(cc*2). j
Здесь мы использовали также (10.129) и (10.132). По аналогии с (10.76)—(10.78) четыре уравнения (10.133) можно расписать более подробно:
Dw PllJdt = Yn dy\ pv WkJc + йу, (10.135)
dE/dt= —dvipvwx + E iaiXwv-)Jc*2. (10.136)
Для световой частицы соотношения (10.18) и (10.20) принимают особенно простой вид, поскольку в этом случае правые части этих соотношений обращаются в нуль. В результате с учетом (10.129) имеем
E w E H /1Л 10_ч
P=—-— = —е -------------е, (10.137)
CWC с*
где е — единичный направляющий вектор движения, а
і
Н = — сРА = Е(\+2x1 с2) 2 =mc*w (10.138)
— полная энергия (10.15) световой частицы с учетом ее взаимодействия с гравитационным полем.
Пусть теперь gik не зависит от времени, dv% = 0. В этом случае H — постоянная. Это также следует из уравнения (10.136), которое в данном случае сводится к
dE/dt = —E (d%Jdxv) dx»Jdt/c**= —iEjc*) dc'*Jdt.
или
dcHjdt = с* dEjdt + Edc*Jdt = 0. (10.139)
280
Тогда, используя (10.134), (10.138), (10.137) и то обстоятельство, что Я — лостоянная, уравнение (10.135) записываем в виде
В стационарном случае траектория световой частицы, луча света, является кривой, не зависящей от времени в R. Как мы теперь увидим, ее можно определить из вариационного принципа, аналогичного принципу Ферма.
есть уравнение траектории луча в параметрическом представлении с произвольным параметром X, а 1 и 2 — две произвольные точки на луче, соответствующие значениям и K2, этого параметра. Положим иJi = dx^/dX и рассмотрим следующую функцию F от *1* (X) и и11 (К) = dxv-ldk:
Тогда можно показать, что функции х^ (А.) в (10.142) удовлетворяют следующему вариационному принципу:
2
Уравнения Эйлера d (OFlduP)IdX = OFIdxt1, соответствующие этому принципу, дают, поскольку YiA* = OixIc:
— единичный 3-вектор, касательный к кривой.
Поскольку F (и&, A*^) — однородная функция от дх^/дХ первой степени, вариационный принцип (10.144) и уравнения Эйлера (10.145) инвариантны относительно произвольных преобразований параметра X. Если выбрать X ~ t, то (10.145) совпадут с уравнениями (10.140) для светового луча. Таким образом, траектория луча определяется вариационным принципом (10.144), который имеет простой физический смысл.