Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 135

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 198 >> Следующая


— H (Ptli, х>\ t) как функцию от сопряженных канонических переменных (Pilt х&) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой форме dPJdt = — d Wdxu-; dx4dt = дНIdPix и соответствующим выбором контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильтона —Якоби.

До сих пор мы предполагали, что собственная масса т0 постоянна. Однако все предыдущие рассуждения можно легко распространить и на случай переменной т0. Тогда вместо (10.3) имеем

DP-Jdx = Fh (10.119)

где F* — обобщенная 4-сила вида (4.68), для которой F*Ul ф 0.

§ 10.5. Распространение световых сигналов.

Принцип Ферма

В § 8.10 было показано, что мировая линия светового сигнала в вакууме описывается уравнениями (8.100), где специальный параметр X определен лишь с точностью до произвольного линейного преобразования. Полагая

dx* Idl = Pi, (10.120)

уравнения (9.100) можно записать в форме

dPjdX—(l/2)gkl> і (dxkldX) P1 = DPJdX = 0; (10.121)

gihpipk==pipi = о. (10.122)

Сравнение этих уравнений с (10.3), (10.5) и (10.6) показывает, что движение светового сигнала в гравитационном поле соответствует движению свободно

падающей частицы с 4-импульсом Pi и нулевой собственной массой, которую

можно назвать «световой частицей».

Уравнения (10.121), (10.122) эквивалентны сопряженным стандартным векторным уравнениям

DPiIdX = 0; (10.123)

IikP1Pk = PiV = о, (10.124)

которые аналогичны (10.11) и (10.10). Здесь

Pi = (pv} E!c) = dxl IdX = (dt/dX) dx11 dt;

Pi = {Pu, —Etc)

— стандартный 4-импульс световой частицы. Из (9.330) и (10.30) имеем

dx‘Idt = (dx^/dt, cdt/dt) = (wс* — lYix ш^), (10.126)

где Wfi = dxv/dt — координатная скорость световой частицы. Подставляя (10.125) и (10.126) в (10.124) и используя (9.299), получаем

Yttv ^ Wv—(е*—Ysl ти-)2, = 0

или

W= Yy\ivwu-wv = с*—Yw (10.127)

279

(10.125)
в соответствии с (8.68). Положим

т = di/dk, (10.128)

тогда из (10.125)—(10.127) получим следующие выражения для импульса и кинетической энергии световой частицы:

р = mw; E — тш. (10.129)

Следовательно, т представляет собой (релятивистскую) координатную массу световой частицы. Аналогично, полагая

m = dtjdk, (10.130)

получаем

p = mw; E = Tnc2, (10.131)

где

Wil =dxv Jdt = CwV-1 (с*—у w) =Cwv-Jw; j (10 132)

ny = |w| — с J

— стандартная скорость, а т — стандартная масса световой частицы.

Умножение (10.123) на dkJdi приводит к стандартным уравнениям движения, соответствующим уравнениям (10.42), (10.43) для частицы с конечной собственной массой. Однако для нас более интересна координатная форма уравнений, получаемая умножением (10.23) на dkldt. Это дает по аналогии с (10.69)

DPiIdt = Sii, (10.133)

где Ri получается из (10.73), (10.75) и (10.72), если положить: uv- = wv-, иР= = wv-, а с* — уи = с* — Yw = w- Следовательно,

$ т (w2 a Jс*2 -f 2oiM,v auv wjc); \

(10.134)

Й'4 = — w Jc = —цwv-Jw = -Eiallw>*-)/(cc*2). j

Здесь мы использовали также (10.129) и (10.132). По аналогии с (10.76)—(10.78) четыре уравнения (10.133) можно расписать более подробно:

Dw PllJdt = Yn dy\ pv WkJc + йу, (10.135)

dE/dt= —dvipvwx + E iaiXwv-)Jc*2. (10.136)

Для световой частицы соотношения (10.18) и (10.20) принимают особенно простой вид, поскольку в этом случае правые части этих соотношений обращаются в нуль. В результате с учетом (10.129) имеем

E w E H /1Л 10_ч

P=—-— = —е -------------е, (10.137)

CWC с*

где е — единичный направляющий вектор движения, а

і

Н = — сРА = Е(\+2x1 с2) 2 =mc*w (10.138)

— полная энергия (10.15) световой частицы с учетом ее взаимодействия с гравитационным полем.

Пусть теперь gik не зависит от времени, dv% = 0. В этом случае H — постоянная. Это также следует из уравнения (10.136), которое в данном случае сводится к

dE/dt = —E (d%Jdxv) dx»Jdt/c**= —iEjc*) dc'*Jdt.

или

dcHjdt = с* dEjdt + Edc*Jdt = 0. (10.139)

280
Тогда, используя (10.134), (10.138), (10.137) и то обстоятельство, что Я — лостоянная, уравнение (10.135) записываем в виде

В стационарном случае траектория световой частицы, луча света, является кривой, не зависящей от времени в R. Как мы теперь увидим, ее можно определить из вариационного принципа, аналогичного принципу Ферма.

есть уравнение траектории луча в параметрическом представлении с произвольным параметром X, а 1 и 2 — две произвольные точки на луче, соответствующие значениям и K2, этого параметра. Положим иJi = dx^/dX и рассмотрим следующую функцию F от *1* (X) и и11 (К) = dxv-ldk:

Тогда можно показать, что функции х^ (А.) в (10.142) удовлетворяют следующему вариационному принципу:

2

Уравнения Эйлера d (OFlduP)IdX = OFIdxt1, соответствующие этому принципу, дают, поскольку YiA* = OixIc:

— единичный 3-вектор, касательный к кривой.

Поскольку F (и&, A*^) — однородная функция от дх^/дХ первой степени, вариационный принцип (10.144) и уравнения Эйлера (10.145) инвариантны относительно произвольных преобразований параметра X. Если выбрать X ~ t, то (10.145) совпадут с уравнениями (10.140) для светового луча. Таким образом, траектория луча определяется вариационным принципом (10.144), который имеет простой физический смысл.
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed