Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Узловой момент в стандартном представлении — использование в качестве временного параметра временного дифференциала dt (9.331). Поскольку dt—калибровочный инвариант, он равен координатному временному дифференциалу в локальной псевдодекартовой системе 5 (P), где координатные часы в P являются стандартными часами, покоящимися в R и R. Из определения
266
dt ь S следует, что он связан с координатным временем соотношением
di = dt (— FkdxkIdt)!c = dt(c*— y^U^/c, (10.30)
где
u^ = dx^/dt (10.31)
— координатная скорость. В отличие от Uv-, являющейся 3-вектором лишь относительно чисто пространственных преобразований, стандартная скорость с компонентами
и11 = dx^Zdt ^dxiiIdi =CU11KC*—у°) (10.32)
является калибровочно-инвариантным 3-вектором,
Поскольку ds2 = —А?т2, из (9.332) получим
— с2 dx- = (U2-C2)Cli2, (10.33)
где
M2 = VnviiliUv, (10.34)
следовательно,
di Idr == Г = 1 / У I — U2Ic2. (10.35)
Формально калибровочно-инвариантная величина f совпадает с лоренце-вым множителем в СТО. Поэтому, сравнивая (10.35) с (4.34), видим, что di совершенно аналогичен временному дифференциалу dt в инерциальной системе. С помощью (9.330), (10,8) и (10.35) для стандартной 4-скорости получим выражение
U1 = dx1 Idj = (dtjdx) (JxiIdt) = (Гм*, Гс), (10.36)
— ( о
которое аналогично формулам (4.39) СТО. Умножая U1 на т0, получаем стандартный 4-импульс (10.9), а учитывая (10.12) и (10.36), находим выражения для импульса р и кинетической энергии Е\
р — mu; E = тс2, (10.37)
где стандартная масса т определяется формулой
m = thQr = mjVl—и2/с2. (10.38)
С помощью (10.7), (10.23) и (10.36) величины Fi и Ki можно записать в виде
Fi = Г5,; rSl = (?, — ^liUfVc);
(10.39)
Ki = Ylti-, R1 = (®*, — S11 UixZc), ' где мы положили
F\iZY; $ц = Кц/Г. (10.40),
Поскольку UiZc = Г, с учетом (10.24) и (10.38) имеем
йл = InGtl, где Gvl=CL11 + Scotiv uv; J (10 41>
Otl = C2 aj с*'; U11V = с* (OvtGv-Ov(Sll)12. J
Разделив уравнение (10.21) на Г = dtldx, получим
DPiZdt + (10.42)
267
где в соответствии с (10.28),(10.36) и (10.39)
DPJdi =ZdPiIdt — (Oi YvO Pt их 12.
(10.43)
При і = p. = I1 2, 3 (10.42) дает
?) PvJdt (10.44)
Левая часть этого уравнения является калибровочно-инвариантным изменением импульса за единицу стандартного времени. Таким образом, величины и iJfx следует интерпретировать как гравитационную и негравитационную стандартные силы соответственно. Из (10.41) видно, что гравитационная сила пропорциональна т, в соответствии с равенством (пассивной) гравитационной массы и инертной массы, определенной в (10.37), (10.38) как отношение импульса к скорости.
В случае свободного падения мгновенно покоящейся частицы, когда iJji = 0, = 0, уравнение (10.44) принимает вид
dUfi/di =Ypvdu1Idt —а^. (10.45)
Из (10.45) видно, что % в (10.41) является стандартным гравитационным ускорением покоящейся частицы. Вторая величина в выражении (10.41) для имеет характер кориолнсовой силы. Формально йц аналогична силе Лоренца (5.80), действующей на заряженную частицу. При такой аналогии т, U1I и 2 COOjiv соответствуют электрическому заряду е, вектору электрического поля Eli и магнитному тензору поля Hliv. В следующем параграфе будет показано, что эта аналогия полна в случае слабого поля.
При і = 4 с учетом (10.16), (10.39), (10.43) и (9.336) из уравнения (10.42) имеем
DP4Idt =:-(1/с) dEjdt — Г4 Pli иХІ2= — (?* + §*) и'х/с,
или
dE/dt --dvK pv«x+ (? +(10.46)
где
dvr. = {cl2c*)dyvhldt (10.47)
— калибровочно-инвариантный тензор растяжения (9.117). Первая величина в правой части уравнения (10.46) описывает стандартное изменение кинетической энергии в единицу стандартного времени, обусловленное растяжением системы отсчета, а оставшаяся величина представляет собой работу гравитационной и негравитационной сил в единицу стандартного времени. Полная (стандартная) работа, совершенная этими силами за время перемещения частицы от точки 1 до точки 2 ее траектории, равна:
A (1,2) = J (-% + ?) u»dt = J (% + §») dx*. (Ю-48)
ї і
Все рассматриваемые в этом параграфе величины являются калибровочноинвариантными и очень похожи на соответствующие величины СТО. Единственное различие состоит лишь в том, что здесь пространственный метрический тензор может зависеть от времени и описывает в общем случае неевклидову геометрию.
В противоположность величине Fu являющейся стандартным 4-вектором, гравитационная величина Ki является стандартным 4-вектором лишь относительно калибровочных преобразований. При общих координатных преобразованиях Ki преобразуется более сложным образом. Наиболее существенное различие между Fi и Ki состоит в том, что гравитационная 4-сила может быть
268
исключена соответствующим преобразованием. Если мы введем гауссовы координаты (9.269), то в этой системе будем иметь
Г‘ = бі4; dt =dt\ Uftt = Uu",
Slll = O; Fi = Fft (10-49)
DpvJdt — D(3) pjdt, где
D<3> pjdt = dppldt—Yvx.ц Pv «V2 (10.50)
— пространственный аналог четырехмерной абсолютной производной (10.5). Геометрически эта величина определяется следующим образом: