Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В таком методе время t определяется, конечно, лишь с точностью до произвольного линейного преобразования. Если существуют области пространства, где R практически можно считать инерциальной системой (например, области пустого пространства, достаточно удаленные от всех космических тел), то центр регулировки D удобно поместить там. Тогда, если в качестве координатных часов в ?) взять стандартные часы, временная переменная t будет определена однозначно. Определяемое таким путем время t часто называется мировым временем.
Возвращаясь к общему случаю, введем координатный множитель Лоренца
Г = dtldx (10.62)
вместо стандартного множителя Лоренца (10.35). Из (8.103) для Г получим
следующее выражение:
и^ = dx^fdt; и2 = уuv; (10.63)
Vі = Tdx1Idt = (Tut1, Гг); (10.64)
Г = [{(1 4- 2х/<?2)1/2—-Yix —• U2Zc2J -1 /2. (10.65)
Учитывая (10.30), (10.32), (10.35), (10.62), имеем
Г I Г = dljdt = (с* — Yu) I е; и = иГ/Г. (10.66)
Поэтому, введя вместо (10.38) величину
т = тГ/Г = т0Г, (10.67)
из (10.37) получим следующие выражения для импульса и кинетической энергии:
р = mu; E = тс (с*—Yu)* (10.68)
Отношение т между р и координатной скоростью и часто называется координатной массой.
272
Теперь, умножая уравнения (10.42), (10.43) на Г/Т, приходим к координатной форме уравнений движения:
DPiJdt = Я, + Si; (10.69)
DPiIdt = dPi/dt— (O1 Yv?.) Pv и%12, (10.70)
где
Si = -'ЗГ/Г-ТуГ; Л* = Й4f/Г = Л’і/Г. (10.71)
Пространственные части Srji и ^ этих величин называются координатными силами, а временные части, в соответствии с (10.39) и (10.71), имеют вид
S4=-StlU1Vc; ^4 = -Vfi/с. (10.72)
Из (10.71), (10.41) и (10.67) для гравитационной силы получим выражение в форме
^ll = InGu, (10.73)
где
6’М = ^Г2/Г2. (10.74)
С учетом (10.66), (10.41), (10.25) последняя величина записывается как
Gfl = (I — yu/e*)2 ay + 2 (с*— Yu) 0Vv и?/с, (10.75)
и снова гравитационная сила 5? оказывается пропорциональной инертной массе т.
Пространственная часть уравнений (10.69) имеет вид
DpJdt = Stfl + ^-, (10.76)
DpJdt = D^ р Jdt-у ^dv), PvU^-Ic, (10.77)
а для i = 4 получим
dEIdt= — dx% pvuЧ (** + 5ц) и11 ¦ (10.78)
В общем случае является более сложной функцией скорости и динамических потенциалов х и Yn- Однако в следующих важных случаях уравнения движения и выражения для Gil имеют очень простой вид.
1. Если частица покоится в данный момент и 1J = 0. Тогда уравнения
(10.76) сводятся к
du/dt = а, (10.79)
где а — ускорение покоя с компонентами %, определяемыми формулами (8.110) или (10.26).
2. Если система координат времениортогональна, когда Yn = 0-
В этом случае Gli и уравнения движения имеют ту же форму, что и в теории Ньютона:
Op=*—д%1дх*-, } (10.80)
D^ р Jdt=—mdytldx» +tStl. J
Это справедливо и в случае сильных гравитационных полей. В § 9.15 было показано, что всегда можно евєсти времениортогональную систему координат. Необходимо лишь помнить при этом, что пространственная геометрия в выражении для Dt-Vpf1Idt в общем случае неевклидова.
3. В стационарном случае, когда gih не зависит от времени. Тогда имеем
DW pjdt = ViGfi+ Stl-,
Of1.= — (1 — уи/с*)2d%/dXfL + 2(OfZV uv (с* — \и)/с; (10.81)
(Ojiv = — (с* 12) (да Jdxv—Ogv/дх^-).
273
Если, кроме того, скорость мала и поле слабое, т. е. если и!с, %/с, Ym, являются малыми первого порядка, из (10.31) получим
Gvl=- dyjdxu + 2(0^ иУ\
COtiv = (с/2) (дучІдхР—дYyVdjcv), т = т0.
(10.82)
Если эти уравнения применить к частице, движущейся относительно вращающейся системы координат (8.91), то первый член в выражении (10.82) для Gyi будет представлять собой обычное центростремительное ускорение, а второй член — кориолисово ускорение.
4. В общем случае слабого поля, когда %/с2 1 и Ym, 1; тогда в первом
приближении имеем
Здесь гравитационная сила аналогична лоренцевой силе, действующей на частицу с зарядом е — т, которая движется в электромагнитном поле с потенциалами А = C2Y, Ф = %¦
Координатная масса (10.67), (10.65) частицы, движущейся так медленно, что величинами у^а^.'с и U2Ic2 можно пренебречь, равна массе покоя:
Она зависит от значения скалярного гравитационного потенциала % в том месте, где частица находится в данный момент. Это особенно интересно, если рассматривать (практически) статическую вселенную, подобную нашей. Тогда мировое время t имеет тот самый операционный смысл, который обсуждался в начале этого параграфа. В соответствии с уравнениями (10.80), которые в этом случае описывают движение по отношению к мировому времени, инертность медленно движущейся частицы, т. е. ее сопротивление действию силы iIvm,, определяется массой покоя т0.
Из (10.84) следует, что та увеличивается по мере приближения частицы к большому телу, подобному нашему Солнцу, так как % при этом принимает увеличивающиеся отрицательные значения. Это соответствует принципу Маха, согласно которому инерция частицы обусловлена наличием других тел. Из этого принципа следует, что собственная масса частицы, т. е. значение т0, когда частица достаточно удалена от всех звезд, также является результатом взаимодействия частицы с удаленными звездами нашей Вселенной. Эйнштейн надеялся, что применение его теории ко всей Вселенной как к целому сможет дать основу для понимания природы собственной массы частицы, в соответствии с точкой зрения Маха. Хотя эта надежда не оправдалась, зависимость (10.84) массы та от гравитационного поля соседних масс указывает на то, что в идеях Маха есть некоторая доля истины. В последние годы многие исследователи пытались эти идеи Маха полностью включить в обобщенные варианты теории Эйнштейна [108, 35, 58, 281, 282, 104], но содержание всех этих работ выходит за рамки данной книги.
