Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ik находятся шары jb jr, ..., jv.\ в ящике ik> шаров нет, в ящике ik..
находится один шар jm, в ящике iq находятся шары jv.<, ... Возьмем
конкретный ящик в качестве первого в (26.1), тогда, очевидно, число
возможных различных заполнений равно числу перестановок всех элементов,
стоящих после этого первого ящика. Число этих элементов равно gt - 1 + nh
а число перестановок (д( - 1 + и,)! Поскольку такое число перестановок
возможно в каждом случае, когда на первом месте стоит конкретный ящик, то
всего для всех gt ящиков число различных комбинаций равно 9i (9i - 1 +
щ)! Весь этот расчет велся в предположении различимости шаров и
существенности порядка, в котором следуют малые ящики. Но поскольку важно
лишь только, сколько шаров находится в конкретном малом ящике, и не
важно, каких шаров и в каком порядке следуют малые ящики, необходимо
полученное число различных комбинаций шаров и ящиков разделить на д*!и,!
Поэтому для полного числа различных микросостояний щ частиц в квантовых
состояниях gh принадлежащих энергии гь получаем
Распределение Бозе - Эйнштейна. Все дальнейшие рассуждения и вычисления
точно такие же, как и в случае распределения Ферми - Дирака, начиная от
формулы (25.2). Формула, эквивалентная (25.10), имеет такой же вид, но с
In Г, получаемым из (26.3). Вместо (25.12) и (25.13) соответственно
находим:
Г,- = [дАд{ - 1 - и,)!]/Ы^!).
Общее число микросостояний равно
(26.2)
(26.3)
§ 27. Электронный газ 205
Пг
1
(26.5)
& exp (а + ре?) - 1
Эта формула называется распределением Бозе - Эйнштейна. Так же как и в
случае распределения Ферми - Дирака, эта формула переходит в
распределение Гиббса
(25.14) в случае, когда среднее число частиц, приходящихся на одно
квантовое состояние, достаточно мало.
Свободные электроны в металлах. Электропроводность металлов обусловлена
наличием в них "свободных" электронов, т. е. электронов, не связанных с
конкретным атомом. Эти электроны как бы обобществлены и принадлежат всем
атомам металла. Поэтому нельзя сказать, что эти электроны свободны в том
же смысле, что и частицы в идеальном газе или молекулы в не очень плотных
газах. Электроны взаимодействуют с совокупностью всех атомов, хотя и
очень слабо. Энергетические уровни электронов расположены очень близко
друг к другу ввиду большого числа атомов, с которыми они взаимодействуют,
и большой области пространства, в которой они движутся (это весь объем
металла). Их импульсы в каждой точке пространства также могут иметь
всевозможные направления. В связи с этим их движение напоминает движение
молекул в газе и совокупность таких электронов называется электронным
газом. Их заряд в среднем компенсируется противоположным зарядом атомов
металла, электроны которых образуют электронный газ. Металл в целом
электрически нейтрален.
Определение параметра а для электронного газа. Для вычисления (25.15) в
случае электронного газа поступаем точно так же, как в § 8 [см. (8.1)].
Объем элементарной ячейки фазового объема, в котором может находиться
лишь одна частица, равен (2nh)3. Поэтому число квантовых состояний в
элементе фазового объема Apxi Apyi Apzi AAyt Azj равно
где д учитывает внутренние степени свободы частицы. Электрон обладает
спином, который может принимать два значения. Поэтому для электронов д =
2. Однако для общности получаемых формул сохраним в вычислениях д без
спецификации ее числового значения.
Подставляя (27.1) в (25.15), находим
§ 27 Электронный газ
Описываются основные свойства электронного газа. Анализируются свойства
электронного газа на основе распределения Ферми - Дирака в различных
условиях. Вычисляются энергия Ферми и характеристическая температура.
Обсуждаются внутренняя энергия электронного газа и обусловленная ею
теплоемкость.
9i = (2~frj3 APxi APyi APzi Axi АУ( Azh
(27.1)
Apxi Apyi A p2i Axt Ay j Azj exp (a + p8() + 1
(27.2)
206 3. Электронный и фотонный газы
Учитывая малость элементарной ячейки фазового объема и принимая во
внимание, что энергия свободного электрона выражается через его импульс
формулой ?. = pf/(2me), перейдем в (27.2) от суммирования к
интегрированию:
п =
G
(2л Л)3
dx dy dz
dpxdpydpz
exp [a + Pp2/(2raJ] + 1
(27.3)
где V - объем, занимаемый газом. Интегрирование по пространственным
переменным дает значение объема V, а при интегрировании по импульсам
можно перейти к сферическим координатам в импульсном пространстве.
Учитывая сферическую симметрию, можно положить dpxdpydpz = 4лр2 dp. В
результате вместо (27.3) получаем
4л gV (2л hf
p2dp
ехр [a + p2l(2mekTj\ + 1
где р = 1/(кТ). Произведя в (27.4) замену переменных ? = р2/{2текТ),
получим
00 г 4 ngV(2mekTf2 Г |/|d Е,
(2nh)3 2 J е"+ 6 + 1 '
О
С помощью обозначения 2
F (+>(а) -
(/л .
V~W
ей+^ + 1
выражение (27.5) запишем в виде п = д V [текТД2л /г2)]3/2 F(+) (a).
(27.4)
(27.5)
(27.6)
(27.7)
Интеграл F{+) (а) называется интегралом Ферми индекса (1/2). Этот
интеграл не вычисляется аналитически, однако может быть получено
