Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
55. Распределение Ферми -Дирака при 0 К < Т Тр
(27.15)
§ 27. Электронный газ 209
жается к единице, т. е. при температуре TF = \х0/к,
(27.16)
которая называется характеристической температурой или температурой
Ферми. С учетом (27.14) формула (27.16) может быть представлена в виде
т = пЧ2( 3пТ F 2mek\KVJ '
(27.17)
Оценим порядок величины этой температуры, например, для меди. Поскольку
значение а для меди уже было вычислено при Т- 300 К в связи с (27.11),
для Гр по формуле (27.10) находим ГР = 8,13 • 104 К. Это значение много
больше температуры плавления меди. Характеристические температуры всех
остальных металлов также имеют порядок 104, а температуры их плавления -
порядок 103. Поэтому для подавляющего большинства металлов в твердом
состоянии соблюдается условие Г Гр и в качестве энергии Ферми в них можно
взять ji0, а распределение электронного газа в них очень мало отличается
от распределения Ферми - Дирака при 0 К. Такой газ называется сильно
вырожденным Ферми-газом. Температура Ферми является характерной
температурой вырождения газа и поэтому называется также
характеристической.
Распределение импульсов электронов. С учетом (27.13) и (27.4) число
электронов dn, импульсы которых заключены между р и р.+ dp, равно
8л К ___________p2dp
(2л/г)3 ехр [(в - ц)/(/сГ)] + 1
j ОЛ V у up п 1
d"p = 7 -.-г/. -.W/.-TV, , . • (27.18)
В случае вырождения экспоненциальный множитель в знаменателе можно
положить равным нулю.
Распределение электронов по скоростям. Положив в (27.18) р = mv, найдем:
, v2dv______________ mev2 mm
v л2h3 exp[(s - \i)/{kTj] + 1 2
Распределение электронов по скоростям изображено на рис. 56. При Г = 0 К
отсутствуют электроны со скоростями, большими тех, которые соответствуют
энергии Ферми.
О 1- Какие обстоятельства делают возможным представить свободные
электроны в металле как электронный газ?
2. Как зависит энергия Ферми от всестороннего давления?
3. Каков порядок величины характеристической температуры для большинства
металлов и какие это имеет следствия?
4. При каких условиях электронная теплоемкость металлов существенна?
14 А. Н. Матвеев - 1488
210 3. Электронный и фотонный газы
Распределение электронов по энергиям. Переходя в (27.18) от переменной р
к переменной в = р2/(2те), получаем формулу распределения электронов по
энергиям:
. У (2ше У'2 е1'2 dE ft__L ,97 70,
'~2пг\1?~) ехр [р (е - ц)] + 1 ' ( '
Вид этого распределения показан на рис. 57.
Средняя энергия электронов. При Т= 0 К средняя энергия
Но
fed"e з
<8> = 4 = ^0' <27'21)
J dnc
о
где учтено, что при Т - О К в распределении присутствуют только электроны
с энергиями в < р0 и, следовательно, интегрирование сводится к пределам
(0, р0). Кроме того, принято во внимание, что в этом случае знаменатель в
(27.20) равен единице и распределение по энергиям принимает вид
(27.22)
При отличной от нуля температуре для определения <е> необходимо
пользоваться (27.20) со значением р, даваемым выражением (27.15).
Вычисления приводят к следующему результату:
<8>-Н1 + М0 + -} <27-23)
Внутренняя энергия и теплоемкость. На основании
(27.23) внутренняя энергия U электронного газа
и = П <в> = 4^о + 4 Т\ (27.24)
Э Ч Ро
где п - общее число электронов в металле. Если оно равно постоянной
Авогадро NA, то U есть внутренняя энергия моля электронов. Молярная
теплоемкость Cv при постоянном объеме на основании (27.24)
равна
/ dU\ л2 кТ л2 кТ
Cv = --г = ^------------------kN а = - R. (27.25)
\дТ)у 2 ро 2 р0
По закону Дюлонга и Пти, CV=3R, что неизмеримо больше (27.25), поскольку
в нормальных условиях всегда кТ<t Ро- Это означает, что теплоемкость
металлов за счет электронов пренебрежимо мала. Физически это обстоятель-
56
dVd"
56. Распределение электронов по скоростям при Т> 0 и Т= О
57. Распределение электронов по энергиям при Tt > 0
§ 27. Электронный газ 211
ство обусловливается тем, что при обычной температуре в тепловом движении
принимает участие лишь небольшая часть общего числа электронов, а именно
лишь электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми. Таким образом,
вырожденный электронный газ не ведет себя аналогично обычному газу и, в
частности, его вклад в теплоемкость нельзя рассчитывать простым
применением к нему теоремы о равнораспределении энергии по степеням
свободы.
Утверждение о несущественности электронной теплоемкости справедливо лишь
для высоких температур. При достаточно низкой температуре электронная
теплоемкость превосходит теплоемкость, обусловленную колебаниями атомов
решетки твердого тела, поскольку последняя уменьшается ~Т3 и при очень
низких температурах становится пренебрежимо малой (см. § 46).
Пример 27.1. Найти число свободных электронов в объеме 10 см3 меди и
число электронов, энергии которых заключены между 7,01 эВ и 7,001 эВ при
Концентрация свободных электронов в меди плотностью р равна (р/та) = =
[8,9 • 103 ¦ 6,02 • 1023/0,0636] м"3 = 8,4 • 1028 м"3. В 10 см3 имеется
8,4 ¦ 1028 • ИГ5 = = 8,4 • 1023 электронов. Энергия Ферми равна р0 = акТ
