Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= 271 • 1,38 • 10"23 • 300 эВ = = 7,01 эВ. Таким образом, требуется найти
число электронов в области, где распределение Ферми очень быстро
изменяется и необходимо соблюдать осторожность при вычислениях. Обратим
внимание, что кТ= 1,38 • 10"23 ¦ 300 Дж = 4,14-10"21 Дж = = 2,59 -10"2
эВ. Это означает, что на интервале 0,01 эВ от энергии Ферми
экспоненциальный множитель изменяется от 1 до ехр (1/2,59) = 0,68, что не
позволяет для таких или больших интервалов заменять дифференциал конечной
величиной de = 0,01 эВ. В этом случае необходимо более точно вычислить
интеграл. Однако на интервале 0,001 эВ экспонента изменяется
незначительно и при вычислении можно заменить дифференциал конечной
величиной de = 0,001 эВ. Тогда по формуле (27.20)
Если в ро, то экспоненту в знаменателе можно положить равной нулю, а при
е ^ ро - пренебречь единицей по сравнению с экспонентой.
Пример 27.2. Найти максимальную скорость свободных электронов при Т- = 0
К в меди.
При Т- 0 К газ является полностью вырожденным и поэтому заполнены все
состояния с энергиями от нуля до энергии Ферми. Максимальная скорость
гмакс связана в этом случае с р0 соотношением тег2акс = 2р0, т. е. гмакс
= (2р0/те)1/2. Из (27.19) находим
г=рмакс гмакс
Т= 300 к.
10"5
(2 • 9,1 • 10" ¦31)3/2 (7,01 • 1,6 • 10" 19)1/2 0,001 • 1,6 • 10"19
= 9 • Ю20.
(1,05-10" 34)3 [ехр 0+1]
(27.26)
где п - полное число свободных электронов в объеме V. Тогда
212 3. Электронный и фотонный газы
Для меди
п р _ PN* Г 8,9 • 103 • 6,02 • 1023 "1 -3 1028
00636 JM -8'410 м '
поэтому
1>"акс = 1,05 '10"934и(310-м~3,14)1/3 • (М• 1028)1/3 = 157 •
Ю4 м/с = 1570 км/с. (27.28)
При интерпретации этого результата имеется в виду, что, строго говоря,
масса свободных электронов в металле не равна массе свободных электронов
в вакууме. В более точной теории в качестве массы свободных электронов в
металлах необходимо брать их эффективную массу, которая может существенно
отличаться от массы покоя электрона. В (27.28) это отличие не принято во
внимание.
§ 28 Фотонный газ
В распределении Ферми - Дирака учтено непостоянство числа фотонов.
Выводятся формула Планка и следующие из нее законы Стефана - Больцмана и
закон смещения Вина. Обсуждаются основные характеристики излучения
абсолютно черного тела.
Излучение абсолютно черного тела. Излучением абсолютно черного тела
называется равновесное излучение, которое устанавливается в замкнутой
полости, стенки которой поддерживаются при определенной температуре.
Находящееся в полости излучение является совокупностью фотонов, энергия
е* и импульс pt которых выражаются формулами
8, = йсо{, Pi= h с0;/с. (28.1)
Совокупность находящихся в полости фотонов называется фотонным газом,
поскольку фотоны могут в такой картине рассматриваться частицами,
движущимися без столкновения друг с другом. Спин фотонов равен единице, и
поэтому фотоны подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна.
Распределение фотонов. Фотоны в полости беспрерывно порождаются и
уничтожаются. Поэтому при выводе распределения фотонов по энергиям нет
ограничения в виде постоянства числа фотонов. Общее число микросостояний
фотонов дается, конечно, формулой (26.3), однако при нахождении
экстремума условие постоянства частиц ?5/V= 0 отсутствует и поэтому в
уравнении (26.4) член с а также отсутствует. В результате в выражении
(26,5) для распределения фотонов по энергиям а = 0 и оно для фотонов
принимает вид
<и("ч)> = - = -ШЦ . (28.2)
Qi ехр (р8г) - 1
Распределение фотонов по частотам. Учет числа фотонов в фазовом объеме и
все рассуждения и расчеты аналогичны тем, которые были подробно
рассмотрены в случае электронного газа для распределения Ферми - Дирака,
надо лишь вместо распределения (27.10) использовать (28.2). В результате-
вместо формулы (27.2)
§ 28. Фотонный газ 213
для числа фотонов dпр, импульсы которых заключены в интервале (р, р +
dp), получаем
J__________2_
ехр(р?) - 1 (2nh)3
:------------ ч V- 4тгр2 dp, (28.3)
р ovn _ 1 к\з ГГ' v )
где ? = ср, множитель 2 в числителе учитывает две возможные поперечные
поляризации фотона. Напомним, что в случае электронов этот множитель
учитывал две возможные ориентации спина электрона.
Переходя в (28.3) от импульсов р к частотам со = pc/h, получаем
dпа= I ,-dco. (28.4)
к с ехр(р Лео) - 1 v '
Формула Планка. Энергия каждого фотона равна йсо, и поэтому спектральная
плотность энергии излучения имеет вид
/гсо dпы _ йсо2 1
V dco 7г2с3 ехр [ /гсо/(/сГ)] - 1
(28.5)
Планк Макс Карл Эрнст Людвиг (1858-1947)
- формула Планка. Ее открытие Планком и попытки интерпретации положили
начало выработке квантовых представлений, приведших впоследствии к
созданию квантовой механики.
Закон Стефана - Больцмана. Полная плотность энергии
излучения равна
00 00
CG3dCG
w = J ww dco = о
h
n2c3 J exp[ /гco/(/c7)] - 1 о
" tc2c3
/cT
h
Я
exp ? - 1 *
(28.6)
Учитывая, что
00
I
s3d$
exp? - 1 15 '
представим плот-
ность энергии излучения в виде
w = аТ\
(28.7а)
