Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
представление в виде ряда. Не вдаваясь в технику математических расчетов,
приведем лишь результат. Для отрицательных значений а, т. е. при - а > 0,
с учетом главного члена разложения в первом приближении получается
формула
F(+>(a) = 4(-а)3/2ДЗ]/я), (27.8)
поэтому (27.7) принимает вид 4дУ ( текТа \3/2 3)/л \ 2лй2 /
Тем самым а выражено через другие величины, входящие в (27.9):
2л h2 ( Зи|/л \2/3
(27.9)
a = -
m.
,кТ\ 4gV
(27.10)
где me - масса электрона.
Число свободных электронов, приходящихся на один атом в металле,
различно, но оно обычно близко к одному электрону на атом. Поэтому можно
считать, что число
§ 27. Электронный газ 207
свободных электронов равно числу атомов. Если плотность металла р, а
масса атома ma, то n = pV/ma и, следовательно, (27.10) принимает вид
2ТГ/Г2 j < Зр J/я \2/3
а " " пгекТ \ Ч 40ma )
(27.11)
Оценим числовое значение а. Например, для меди р = 8,8 • 103 кг/м3, та =
= (M/iVA) = 0,063/(6,02 • 1023) кг, где М - молярная масса. Подставляя
эти значения при Т- 300 К в (27.11), находим а = - 271. Это означает, что
ехр [а + е/(/сТ)] в знаменателе распределения Ферми - Дирака весьма мала
вплоть до очень больших энергий электрона. В данном случае вплоть до
энергии в " 265кТ имеем еа+Е/(*Т) <^е~6, т. е. экспоненциальным слагаемым
в знаменателе распределения можно пренебречь. Поскольку кТ = 1,38 ¦ 10~23
• 300 Дж = 2,59 • 10"2 эВ при Т = 300 К, этим слагаемым можно
пренебрегать вплоть до энергии электронов около 6,86 эВ. Эта энергия
весьма значительна, и в металле лишь очень немногие свободные электроны
могут иметь такую энергию или превосходить ее. Поэтому для подавляющего
числа электронов экспоненциальный член в знаменателе распределения Ферми
-Дирака можно положить равным нулю.
Анализ распределения Ферми - Дирака. Введем новую величину |i, которая с
а связана соотношением
р = -акТ. (27.12)
Тогда распределение (25.13) может быть записано в виде
ГЧ_=__________________\_______________
9i ехр [(в; - [i)/(kTj] + 1 '
(27.13)
При В; < р, Т-* 0 К имеем ехр [(в* - р)/(/еТ)] -* 0 и, следовательно,
1, т. е.
в каждом квантовом состоянии с энергией, меньшей р, находится по частице.
При вг > > р, Т->0 К имеем ехр [(в,- - р)/(/сТ)] -*• оо и, следовательно,
(щ/д^-* 0, т. е. квантовые состояния с энергией в > р свободны (в этих
состояниях нет ни одной частицы). Вид распределения Ферми - Дирака для Т=
0 К показан на рис. 54. Такое распределение обусловливается
необходимостью соблюдения двух требований. Во-первых,
# В металлах энергия Ферми имеет наглядное истолкование как максимальная
энергия электронов при температуре ОК. В диэлектриках и полупроводниках
энергия Ферми приходится на запрещенную для электронов зону энергий и
поэтому ею не может в принципе обладать какой-либо электрон. Энергия
Ферми определяется как то значение энергии, при котором распределение
Ферми - Дирака равно половине. Это определение справедливо и для
металлов.
208 3. Электронный и фотонный газы
полная энергия должна быть минимальна и, во-вторых, должен соблюдаться
принцип Паули. Поэтому электроны начинают заполнять квантовые состояния с
самого нижнего энергетического уровня, последовательно занимая квантовые
состояния, причем каждое из них лишь одним электроном. После того как все
электроны оказываются исчерпанными, заполнение прекращается. Последний
электрон занимает уровень с максимальной энергией. Этот уровень
называется уровнем Ферми, а энергия уровня - энергией Ферми. Однако такое
наглядное определение имеет смысл лишь в применении к свободным
электронам в металле. В общем случае такое определение не точно.
Например, в диэлектрике энергия Ферми приходится примерно на середину
запрещенной зоны и заведомо нет электронов, которые обладают такой
энергией. Поэтому более общее определение гласит: энергией Ферми
называется такая энергия, при которой распределение Ферми - Дирака
(25.13) принимает значение 72. Из (27.13) видно, что р является энергией
Ферми.
При Т> 0 К распределение Ферми-Дирака размывается в окрестности уровня
Ферми (рис. 55). Причина размывания - взаимодействие электронов с
тепловым движением атомов. Поскольку средняя энергия теплового движения
атомов имеет порядок кТ, то и область размывания энергий электронов
вблизи уровня Ферми также имеет порядок кТ.
Уровень Ферми. В соответствии с (27.12) определение энергии Ферми
сводится к определению параметра а. В первом приближении она равна р0 = -
ыкТ, где а задается выражением (27.10) при д - 2:
т. е. не зависит от температуры. Однако, как это видно из общего
определения а, энергия Ферми зависит от температуры.
Эта зависимость содержится в членах разложения а, которые следуют после
учтенного члена (27.10). Расчет приводит к формуле
Характеристическая температура. Зависимость энергии Ферми от температуры
становится существенной, когда второй член в скобках в правой части
(27.15) прибли-
54
0 jj е
54. Распределение Ферми - Дирака при Т -*¦ 0 К
