Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где а - /с4л2/(15с3й) = 7,56-10"16 Лж-м^-КГ4. (28.76) Однако вместо
плотности равновесного излучения удобнее пользоваться понятием
энергетической светимости (из-
214 3. Электронный и фотонный газы
лучательности). Энергетическая светимость характеризует плотность потока
излучения с поверхности по всем направлениям (в пространственный угол
2тс). Она равна потоку, отнесенному к площади поверхности. С плотностью
энергии излучения эта величина связана соотношением
М = cw/4 = стТ4,
(28.8а)
где ст = ся/4 = 5,67032-10~ 8 Вт-м^К"4.
Формула (28.8а) называется формулой Стефана-Больцмана, а ст - постоянной
Стефана - Больцмана.
Закон смещения Вина. Максимум спектральной плотности излучения может быть
найден из (28.5). Положение максимума зависит от шкалы, для которой он
определяется. Для вычисления по шкале длин волн необходимо перейти к
длинам волн X = 2пс/а> с учетом того, что
ww dco = - wx2ncdX/X2. (28.9)
Поэтому распределение плотности энергии излучения по длинам волн имеет
вид
Щ ~ >Т ехр [2л ЩкТЩ- 1 ' <28Л0)
где отброшены несущественные для дальнейших вычислений постоянные
сомножители. Максимум плотности излучения находим из условия экстремума
dwJdX = 0, (28.11)
которое для определения длины волны >.макс при максимуме плотности
излучения дает уравнение
5 = хех/(ех - 1), х = 2псП/(кТХмакс). (28.12)
Решением этого уравнения является х = 4,965. Поэтому ХМакс определяется
соотношением
^макс Т = 2nhc/(kx) = 0,0029 м • К,
(28.13)
58. Спектр излучения абсолютно черного тела
называемым законом смещения Вина. С увеличением температуры абсолютно
черного тела максимум плотности излучения в его спектре смещается на
более короткие длины волн, т. е. на большие частоты. Спектр излучения
абсолютно черного тела показан на рис. 58.
Пример 28.1. Найти число фотонов, излучаемых в интервале частот от со! до
со2 при температуре Т с поверхности площадью S.
§ 28. Фотонный газ 215
В соответствии с (28.8) и (28.5) можно выразить искомое число фотонов в
виде
Если речь идет о видимой области спектра, то формула иногда упрощается.
Для середины видимой области спектра Йсо х 2 эВ. При Т=6000 К имеем кТ=
= 1,38 • 1СГ23 • 103 • 6 Дж = 8,28 ¦ 1(Г20 Дж = 0,518 эВ; РюЦкТ) = 3,45;
ехр [/ко/(/сТ)] "31,5
и поэтому в знаменателе можно пренебречь единицей. При Т = 6000 К формула
упрощается, если интервал частот попадает на видимую часть спектра, и
тогда
Этот интеграл легко берется по частям. Вообще полезно всегда, когда
встречается не простой интеграл, прежде чем пытаться его вычислить в
общем виде, оценить числовое значение различных членов подынтегрального
выражения. Результат этой оценки может позволить значительно упростить
вычисления или свести аналитически не выражаемый интеграл к сравнительно
легко обозримому аналитическому выражению.
Пример 28.2. Измерения спектра излучения абсолютно черного тела позволяют
определить постоянную Больцмана к и постоянную Планка к Для мощности
излучения абсолютно черного тела в полупространство с поверхности
площадью S = 1 м2 в эксперименте получено значение М = 904,48 кВт при Т =
2000 К. Максимум спектральной плотности излучения при этом пришелся на
А,макс = 1,451 • 10"6 м. Найти значения постоянных к и к
Имеем два уравнения (28.13) и (28.8) с учетом (28.7) для двух неизвестных
кик Запишем эти уравнения в следующем виде:
(О,
ш,
п = ехр [ - /хо/(/сТ)] со2 dco.
О),
4,965 WT , 4 _ 60с2 Мй3
7Г2Г4 '
Inch
(28.14)
(28.15)
Решение этих уравнений элементарно: (4,965)3 • 15 Х3максМ
(28.16)
2ти5с Т
(28.17)
Отсюда при значениях, полученных в эксперименте, находим:
Дж-с = 1,055-10"34 Дж-с.
Задачи
3.1. Найти энергию Ферми для серебра, считая, что р = 10,5 • 103 кг/м3 и
Мг = 107,9.
3.2. Чему равно полное число электронов в 1 г серебра при Т = 100 К и
число электронов, энергии которых заключены между 2,0 и 2,1 эВ? Исходить
из данных о серебре, приведенных в задаче 3.1.
3.3. Чему равно число фотонов в полости с излучением объемом F=1 м3 при Т
= 3500 К в интервале частот от со = 3,24 1015 с-1 до со +• dco = 3,27 •
1015 с-1?
3.4. Определить число фотонов с частотой между со = 2,16 • 1015 с-1 и со
-f dco = 2,18 • 1015 с-1 в полости объемом 1 м3 при Т = 4000 К. Найти
суммарную энергию фотонов.
3.5. Найти число свободных электронов в веществе с р0 = 9,34 эВ, энергии
которых заключены между 9,20 и 9,27 эВ в объеме 10"4 м3 при Т = 400 К.
3.6. Найти длину волны, на которую приходится максимум плотности энергии
излучения абсолютно черного тела при Т = 4000 К.
3.7. В каком интервале температур максимум спектральной плотности
излучения абсолютно черного тела, вычисленный по шкале длин волн,
попадает в область видимого спектра от 3,9-10-6 до 7,8-10-6 м?
3.8. Максимум спектральной плотности излучения по шкале длин волн в
спектре Солнца приходится на длину волны Хмакс = 4,7 • 10"6 м. Найти
температуру поверхности Солнца, считая, что оно излучает как абсолютно
черное тело.
3.9. Чему равно число фотонов в 1 мм3 полости с излучением абсолютно
