Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
микросостояний в отдельных больших ящиках:
г-Пг'-П"гЬг' ,25а
i /'
где Y] - произведение:
т
l\ai = ala2...am. (25-3)
i= 1
В (25.2) имеется в виду, что i в произведении учитывает все большие
ящики. Формула (25.2) решает задачу подсчета числа микросостояний для
модели Ферми - Дирака.
Распределение Ферми - Дирака. Равновесное состояние определяется
требованием максимума числа состояний Г. Это число зависит от щ, т. е.
распределения частиц по энергии. 'При вычислениях удобнее оперировать не
с Г, а с In Г. Если бы числа щ
202 3. Электронный и фотонный газы
были независимыми, то условие экстремума для In Г выглядело бы так:
81пГ = У'4г^' 8п, = 0 (25.4)
i оЩ
и ввиду независимости щ свелось бы к уравнениям (д In Г/дщ) - 0. Однако в
действительности щ не являются независимыми величинами. Они связаны
условием постоянства числа частиц
53
=
которое означает, что
5и - Ц8п>=0=l&ni'
и условием постоянства энергии
= и*
откуда следует, что
bU = = 0.
(25.5)
(25.6)
(25.7)
(25.8)
Условия (25.4), (25.6) и (25.8) должны быть удовлетворены одновременно, а
п{ в каждом из них не могут рассматриваться независимыми. Умножим
равенства (25.6) и (25.8) на неопределенные постоянные - а и - (3
соответственно и сложим их:
(6 In Г - (35С
- аби) = ^ ^ - fte" ~ aj = 0. (25.9)
В этом уравнении постоянные р и а взяли на себя зависимость величин щ
между собой, поэтому все щ в (25.9) могут считаться независимыми.
Следовательно, множители при би* должны быть равны нулю и условие
экстремума записывается в виде
(25.10)
Изложенный метод нахождения экстремума называется методом неопределенных
множителей Лагранжа. Поскольку значения являются очень большими, при
вычислении In Г используется формула Стирлинга (5.13). Тогда
ж
\ И III/
\1ПЯ/
\\uni
53. Модель распределения частиц по энергиям
§ 25. Распределение Ферми - Дирака 203
и, следовательно, (25.10) принимает вид
In ( -- 1 ) - Ре? - ot = 0.
(
Gi_
)
(25.12)
Потенцируя, находим
1
(25.13)
д( ехр(а+(ЗвО+1 '
где tijgi - число частиц, приходящихся на одно квантовое состояние с
энергией 8;. Формула (25.13) называется распределением Ферми - Дирака.
Предельный переход к распределению Гиббса. При очень малых значениях
ni/gl экспоненциальный множитель в знаменателе правой части (25.13)
должен быть значительно больше единицы. Поэтому единицей в знаменателе
можно пренебречь и записать распределение в виде
где А = е~а. Выражение (25.14) совпадает с распределением Гиббса (7.5),
представленным в виде (7.6), поскольку, по определению, вероятность ^(еа)
в (7.6) пропорциональна числу частиц па, имеющих энергию 8а. Таким
образом, распределение Ферми - Дирака Переходит в распределение Гиббса
при 1.
Определение параметра р. Предельный переход можно использовать для
выяснения смысла параметра р. Поскольку в (25.14) нам известно, что р =
1/(/сТ), то и в
(25.13) этот параметр имеет то же значение. Смысл параметра р можно
выяснить также непосредственно в рамках (25.13), не обращаясь к
предельному переходу. Для этого, найдя выражение для энтропии и сравнивая
его с выражением энтропии при постоянном объеме dS = dU/Т, получают Р =
1/(/сТ). Нет необходимости приводить здесь этот вывод.
Определение параметра а. Параметр а определяется нормировкой на полное
число частиц, выражающей условие сохранения числа частиц:
Щ = АдР?',
(25.14)
(25.15)
"Конкуренция" между частицами при занятии состояний в статистике Ферми-
Дирака чрезвычайно интенсивна, поскольку занятое какой-либо частицей
состояние запрещено для других частиц. Можно в определенном смысле
говорить, что частица, занимающая некоторое состояние, "отталкивает" от
этого состояния другие частицы, как бы "удерживает" их на некотором
удалении от этого состояния. "Конкуренция" между частицами ослабевает,
когда число допустимых для них состояний много больше числа частиц.
204 3. Электронный и фотонный газы
§ 26 Распределение Бозе - Эйнштейна
Распределение Бозе - Эйнштейна выводится комбинаторными методами, прямым
расчетом числа состояний при фиксированном числе частиц и полной энергии.
Указывается на предельный переход к распределению Гиббса.
Подсчет числа состояний. В модели Бозе - Эйнштейна в каждом квантовом
состоянии может находиться произвольное число неразличимых между собой
частиц. Используем ту же модель больших и малых ящиков и шаров, что и в §
25. Сначала допустим, что все малые ящики д{ и шары щ различимы между
собой. Распределение шаров по малым ящикам будем производить следующим
образом: даем номер ящику и перечисляем все шары, лежащие в нем; затем
даем номер другому ящику и перечисляем все шары, лежащие в нем, и т. д.
Если в малом ящике нет шаров, то после него стоит сразу же номер
следующего ящика. Обозначим маленькие ящики в большом символами iu i2,
ig_, а шары -
символами ju j2, j"r Таким образом, некоторое конкретное заполнение i-ro
большого ящика выглядит, например, так:
itJiii' - • • ji-h'ik-jJJk'" • - • (26.1)
Записанная в (26.1) последовательность означает следующее. В малом ящике
