Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
особенность, показанная на фиг. 9.2, которой посвящена задача 3. Эта
логарифмическая особенность характерна не только для изотропного случая.
Вообще исходя из формулы для свободной энергии вблизи Т = Тс, можно
обнаружить логарифмическую особенность в теплоемкости. Если мы
зафиксируем Jl + Jг = 2J (const), то при J2-+0 получим гладкую удельную
теплоемкость, характерную для одномерных задач (при стремлении J2 0
особенность движется к Т = 0, а полуширина логарифмического пика
обращается в нуль). При /j = /2 мы получим самую широкую аномалию *).
Задача 3. Исходя из теории Ландау, изложеннной в предыдущей главе,
разложите свободную энергию f, введенную выражением (57), вблизи точки
Кюри, и выведите результаты, о которых говорилось в тексте и которые
приведены на фиг. 9.2.
СПОПТАНПАЯ ПАМАГНИЧЕНПОСТЬ
Можно избрать разумный подход, отождествляя намагниченность с дальним
порядком, так как в выражении
<(2 ч)2>га
оМ*{Т)-----1 ,/ v = lim (Or Од )rA (61)
деление на MN исключает все корреляции, кроме далеких. Таким образом,
даже если существуют не обращающиеся в нуль корреляции
близкорасположенных спинов при температурах выше Тс, то оЛ (Т > Тс) = 0 с
точностью до членов порядка 1IMN.
Такое определение сМ (Т) избавляет нас от необходимости введения в теорию
оператора V3 (см. стр. 340). Этот метод избран Монтроллом, Поттом и
Уордом [6]. В первом опубликованном Янгом методе использовался оператор
V3. [Хотя результаты, полученные каждым из этих способов, идентичны,
метод Янга гораздо более сложен. Результат можно резюмировать следующим
образом: магнитное поле снимает вырождение между двумя
J) В книге Л. Ландау и Е. Лифшица "Статистическая физика" (§ 141)
содержится другое сравнительно элементарное решение (принадлежащее Н.
Вдовиченко) задачи о фазовом переходе в двумерной решетке (модель
Изинга).- Прим. ред.
348
а. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
основными состояниями, существующими ниже точки Кюри, а энергия
взаимодействия (аналогично эффекту Зеемана для атомов) равна -Ho/fl (Т).
Это обстоятельство используется для вычисления аН(Т).\
Можно доказать [4], что дальний порядок в выражении (61) не зависит от
направления Ri7-, даже когда связи анизотропны, т. е. при Jt Jг. Поэтому
проще всего взять два спина из одной строки, достаточно удаленные друг от
друга, и посчитать их корреляцию как функцию температуры Т.
Соответствующий оператор есть произведение crfcr^; мы должны
преобразовать его к ферми-операторам при помощи формул (32)-
(34). В данном случае удобнее использовать тождество (см. соответствующий
раздел о представлениях спинов V2 в гл. 3, стр. 111)
(_1)п m = (4+g(C;-Cm), (62)
чтобы получить компактную формулу
OiOj - (Ci Cj) (Cj'+j -f- Ci + i) (Сг + 1 ^Z-м) ¦ ¦ ¦
. ¦ ¦ (с?_! -f С;_,) (cJLj - Cj-i) (cf -г Cj). (63)
Термодинамическое среднее есть не что иное, как математическое ожидание
значения этого оператора в "основном состоянии". "Основное состояние" |
g) соответствует наибольшему собственному значению, поэтому его можно
оценить при помощи теоремы Вика из теории поля, которая содержит
следующие утверждения.
Соедините операторы во все возможные пары, замените каждую пару значением
ее математического ожидания в "основном состоянии" и умножьте
произведение на (-1)^\ чтобы учесть число антикоммутаторов, которые
потребовались для получения каждой из перестановок операторов. Наконец,
просуммируйте по всем перестановкам. (В действительности это определение
детерминанта.)
Получающиеся свертки могут быть трех типов, два из которых обращаются в
нуль:
(g I (ст + Ст) (С* + Сп) \ g) = (g I (С^ - Ст) (С* - Сп) \ g) = 0, (64)
а свертки третьего типа отличны от нуля
(g\ (Cm- Ст) (с? + cn) I g) = am,n-i- (65>
Заметьте, что в этой задаче существен индекс п - 1, введенный в
определение матрицы плотности. Оценку пусть даст сам читатель; она
требует выполнения различных преобразований из предыдущего раздела, и это
будет полезным упражнением. С учетом.
СПОНТАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
349
знаков и фазовых множителей приходим к формуле ait j -=а (i - /') ------
-----------------------^ eig(i-з)е1<2ф^+9).
(66)
Удобная формула для cpg [см. (50)] будет дана ниже.
Знак минус при нечетных перестановках приводит к тому, что дальний
порядок определяется детерминантом
(ё I ОщОт1 | ё) -
^771, ТП (r)7П, 171+1
Ят-М, тп
fini'-l, rri
Я771, ТП' -1
¦ ¦ йгл/ - 1, га/ - 1
(67)
Это детерминант Теплица, т. е. (?, /)-й элемент зависит только от
разности (i - /). Детерминант Тёплица может отличаться от
соответствующего циклического детерминанта, даже если его размеры очень
велики. Например, первый из них может обращаться в нуль, тогда как второй
отличен от нуля. Так, из детерминанта Тёплица 9x9
010000000
001000000 000000001 000000000
= 0,
(68)
добавляя в нижний левый угол единицу, получаем циклический детерминант
010000000 001000000
000000001 1 00000000
1.
(69)
Очень удачно, что благодаря работам Сегё и Каца [9] существует теорема,
которую Монтролл сумел использовать для асимптотического вычисления
