Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
отношения детерминанта Тёплица к циклическому, с точностью до членов
порядка (1/яг' - яг), или, как принято говорить, до основного
поправочного члена. Большое значение этой теоремы связано с тем, что
соответствующий циклический at, j детерминант вычисляется тривиальным
образом. Это попросту произведение коэффициентов разложения обычного ряда
350 9- МОДЕЛЬ ИЗИНГА
Фурье; оно в точности равно произведению собственных значений циклической
матрицы (см. стр. 79).
Пусть фурье-преобразование есть
F(q) = ^e^ma(m). (70)
га
В пределе при М-> оо циклический детерминант С (F) равен
я
М )' lnF(g)dg/2.T
C(F) = [[f(q) = e -* (71)
я
Детерминант Тёплица Т (F) по теореме Каца-Сегё имеет вид
оо
2 nknk-n
Т (F) = С (F) <?"=" , (72)
где
оо
In F(q) = S kneinr>. (73)
П=- oo
В наиболее интересном случае In F (q) = + i (ф9 + q) [это следует из
(66)], и поскольку ф9 оказывается нечетной функцией q, то мы найдем, что
интеграл в (71) обращается в нуль, а С - 1. В результате указанных
вычислений получена следующая точная формула:
e-2iVq = eiQ Г (l-gr1^1-^'117) "I ДЛЯ Г< Тс,
L (1 - x^e-W) (1 - хгех1') J
е-31Фа=_| 1 ддя Т>тс. (74)
Здесь
Zt = (cth Ky cth K2) > 1
и
г, = №)^1дляГ^Гс. (75)
\ cth А, I
Разложение -\-i (ф3 -f q) в ряд по степеням дает при помощи (73)
коэффициенты кп, а подстановка их в формулу для детерминанта Тёплица (72)
завершает этот процесс. Как читатель, вероятно, догадался, окончательная
формула и есть формула (0), стр. 332.
Выше температуры Кюри спонтанная намагниченность обращается в нуль. На
основании точного разложения в ряд Фишер [10] получил закон для магнитной
восприимчивости dMIdH:
X(7) = _^L( i_Z?_)-7/4, Т^тс. (76)
СПОНТАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
351
Простой вывод этого результата не найден до настоящего времени, если не
считать численного метода последовательных приближений, а он заведомо
несправедлив при Т > Тс в области применимости закона Кюри - Вейсса. В
принципе можно точно подсчитать восприимчивость, разлагая V3 по Н до
членов второго порядка малости и решая уравнение относительно z (Н).
Очень точные разложения в ряд в трехмерной модели Изинга указывают, что
результаты во многом аналогичны точному решению для двумерной модели. Как
и в двумерном случае, существует логарифмическая особенность в удельной
теплоемкости,
Фиг. 9. . Удельная теплоемкость с/к как функция кТ/J для изотропной
гранецентрированной решетки с взаимодействием ближайших соседей в модели
Изинга, для которой не существует аналитического решения. Результаты,
полученные разложением в ряд, точны всюду, за исключением окрестности Тс
(сплошная кривая); это видно из сравнения с приближением Кикучи
(пунктирная кривая) и с результатами, полученными методом Бете (точечная
кривая). См. работу Домба [3], где можно найти обзор этих приближенных
методов.
и соображения относительно фазового пространства этому не противоречат.
Но при асимметричной особенности ситуация скорее ближе к приближению
молекулярного поля. Это показано на фиг. 9.3. В окрестности температуры
Кюри трехмерная удельная восприимчивость подчиняется закону
3,0
Р п
О
0,5 10 1,5 2,0
(77)
который ближе к закону Кюри - Вейсса в модели молекулярного поля, чем к
результатам двумерной модели. Все эти совпадения не неожиданны, так как
число соседей каждого спина
352
9. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
возросло, поэтому вероятность локальных флуктуаций в трехмерном случае
меньше, чем в двумерном, что в свою очередь лучше согласуется с
предпосылками молекулярного поля. В последней работе автора (которая была
доложена в 1966 г. на Копенгагенской конференции Международного союза
чистой и прикладной физики и будет опубликована в соответствующем
протоколе) показано, что в модели Изинга в случае пяти или более
измерений удельная теплоемкость конечна в точке Кюри.
Дальнейшее развитие этой задачи зависит от использования численной или
диаграммной техники и машинных методов расчета, что выходит за рамки
книги, представляющей собой введение в теорию магнетизма. Поэтому на этом
нам следует остановиться и отослать интересующихся читателей к обзорам и
другим источникам, указанным в библиографии.
Задача 4. а) Для общей модели Изинга в случае произвольного числа
измерений, ^ JijOiCj- h У; аг, докажите тождество
(i, Я
оЛ1 (Т) = (a^TA = (th JijOj-\-h^jkT )TA-
i
Указание. Используйте непосредственно формулу (3), не прибегайте к методу
Домана и Тер Хаара [11, 12].
б) Покажите, как неправильная подстановка th < )ТА вместо (th)TA н правую
часть приведет к закопу Кюри - Вейсса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Onsager L., Phys. Hev., 65, 117 (1944).
2. Newell G. F., M о n t г о 1 1 E. W., Rev. Mod. Phys.,
25, 353 (1953).
3. D о m b C. (Adv. in Phys.), Phil. Mag. Suppl., 9, 151 (1960).
4. Schultz Т., M a t t i s D., L i e b E., Rev. Mod. Phys., 36, 856
(1964).
5. О n s a g e г L., Nuovo Cimento Suppl., 6, 261 (1949).
6. Montroll E. W., Potts, Ward, Journ. Math. Phys., 4, 308 (1963).
7. Anderson P. W., Phys. Rev., 112, 1900 (1958).
