Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
гладкое решение уравнения (I.I) в малой окрест-! нооти х"=о,4-0 может
иметь только такую структуру "U* (х,4) :"о' при' х 6 ou4l , ц'х(х|4)^
о ПР" \A44)U s/T^a,
причем выполняются равенства (2.4),(2.6),(2.8).
Используя формулу Даламбера (при этом учитывается, что I с" 44)1 t n/T^-q
) в областях xt -\/Ггс(4, х>, \fiTq-fc,
находим, что
¦+ ^=-Q ^(d)^ ; | 6 о,
S ?
\ >'0.
о
И, следовательно,
У i ( ы(4) - Vа- о 4) - МТ^а ( 4 (4) - \А- q 4 ) -
(2.16)
= V^. (с<,(4)V7+q4 ) ^ VTTq" U^'(ц t4) + VTTa-l).
Функциональное уравнение (2.16) определяет искомую функцию ot 14).
Заметим, что если существует гладкая функция л(4) , удовлет-
воряющая (2.16), то построенное по ней решение и.(г,4) в области -VPq4 ?
х?\/Т4ц4- в силу леммы 2.1 таково, что
и1* >/ о при -\ГГд4 ? х ou4) , и'х <; о при
!
- 17 -
^(4) ^ x ? -v/T+Q I . Подчеркнем, что функция cU-l), являющаяся
решением(2.16) .должна еще удовлетворять неравенству
Положим^ "(t-tr) - VjpoT 4. = f " d. 14)VvTq-t-^ ,
^(5),VAt2)+\riTqUa(?)=^(p.
fees ограничения общности можно предположить, что Ve(o)= о.
"з условий 1*1 ) > о , Ц'х( \Я7а t,4) < О при-4>о
Следует, что ^(5)^0 при f ^ о , |А("р<Опри J > О . Сравнение (2.Х6)
перепишем в виде
|л^м*<г>, <г-п>
Из замечания 2.1 следует, что " непРвРывныв
ярого монотонные функции. Отсюда вытекает однозначная разреши-, "ость
уравнения (2.17),т.е. из этого уравнения однозначно нахо-. (итоя функция
| = ^ ( I ) , которая является непрерывной и ' монотонно убывающей.
Следовательно, из уравнения
! (\ГГГа+\Дга )i = ^ ^ ^ )
)днозначно находится | = ^ (-4) . Так как |-'ДТй-Ь/
to тем самым доказано, что уравнение (2.16) однозначно разрешило. Далее,
возможно, что \ *44) 1 ^ или I*44)1 >'/Г:а ,
| i первом случае мы получаем существование и единственности глад-j сого
решения. Во втором случае гладкого решения задачи Коши для уравнения
(1,1) с гладкими начальными данными не существует.Здесь !ы имеем отличие
от общей теории квазилинейных гиперболических уравнений, соответствующих
уравнению (1,3) о гладкой функцией Ч(Л) , в которой для гладких начальных
данных гарантируется I Существование в малом гладкого решения.
| Подчеркнем, что определяющая в нашей задаче функция oU-
fc).
| находится непосредственно из начальных условий (см. (2.16) ).
Покажем, что, действительно, и первый и второй случай для
! <4(4) имеет место. Пусть начальные функции Uo(x),V0(x')
J некоторой окрестности точки х = о имеют вид:
хл
у + Х(хУх* v0(x)-- VT\ (х) ХА,
3-1
- 18 -
где Kx),"vCx-) - непрерывно дифференцируемые в этой окрестности функции.
Предположение о том, что в малой окрестности точв х = о, + - °
выполняются неравенства и'х >о при х"-VT^a-t i> •ц'х.^о при x>z VT+q-fc #
-i > о, приводит к неравенству
-vfi^a 'JT+Q . Функция <*'(-t) в этом случае имеет
вид: !
Лч' Н) = - VITq + \ n/"- a + ^ (-t)--t , |
где j(-t) - непрерывная функция. Таким образом, гладкое решение при малых
-fc существует и единственно, если I-\ДТц+>ч-\Д^дУ х \/<- а , и гладкого
решения не существует, если l-'/T+a+'X+V^
> v/T^L . Например, если "X * о , то гладкого решения задачи Коши с
гладкими начальными данными не существует при сколь угодно малых t ,
если a > Vs- .
Замечание 2.2. При исследовании вопроса о существовании и
единственности гладкого решения уравнения (I.I) был рассмотрен случай,
когда в точке -х - о начальная функция U. (х^ имеет] локальный максимум.
Случай локального минимума и0 (х.) можно исследовать,воспользовавшись уже
полученными результатами, если сделать замены х-*-х , u. ( х )-" -й
(х,-Ь) .
Замечание 2.3. Пусть начальные данные задачи Коши сколь угодно гладкие и
пусть ц. (.*:, + ') - гладкое решение задачи Коши для уравнения (Z.I) с
этими начальными данными. Несмотря на боль* шую гладкость начальных
данных, решение и. С х, -t ) , которое бы-
ло построено по функции d(-t), будет иметь разрывные вторые производные.
Действительно, функция U"xc CoK-t) +o(-t ^ на плотно! множестве значений
-t из Со,~г] будет отлична от о , так ка! в противном случае u(r,-t) была
бы постоянной в некоторой открытой области, примыкающей справа' к линии т
= оиЛ). Но,если U."X]C C*o,i0) / О и С>иепрерывна в этой точке, то,
как следует из уравнения (I.I), функция U ^ ( г, 4) в этой точк< будет
разрывна. |
/ В заключение параграфа рассмотрим случай, когда llo (х)>,о ! в
некоторой окрестности точки х = о , причем и, (о) =. о , ( тл р ( х) > о
при хх о и Hj (х),> о при х>о иначаль-j ная скорость V0( х) такова, что
>Опри х * -\J7=a{ -Ь ,j
- 19 -
^ua/2)x > ° при хг-'/Г'ц-t , где u^u^- решение за--ач Коши для
соответствующего волнового уравнения в областях ^ _\ДГо -Ь , х \TP~a -t с
начальными условиями Сх) , ч/ ex') " " ч/А Сх-), соответственно.
Тогда, как сле-
tyer из леммы 2.1, существует единственное гладкое решение U(r^) -ого же
волнового уравнения такое, что '3U _
и. - иi } 'Ъх. ~ ~ъ х при х "= ,
u - it. ^ при х =. -t
' "6 X
^ хд
и ^ 0 при - '/7ra-t ь х t vT-q -Ь . Точно так же можно досмотреть случай,
