Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 3.7. Пример 3.3 показывает также неединственность решения
задачи Коши. Именно, с одним и тем же начальным условием (случай 2)
имеется два решения - это функции Ид(г;4') и . Условие (3.7) из этих двух
решений выбирает функ-
цию кд(х,-1ХОбратимый процесс: если в некоторый момент временя при данных
смешениях задать противоположные скорости, то процеоо в соответствующий
момент времени будет проходить через те же конфигурации, что и в начале,
т.е. наряду с U.(x;4.) есть решение U(x,-t) . Уравнение (1.3) описывает
обратиыыв процессы,
но при условии выполнения (3.2) оно, вообще говоря, опиоываот необратимые
процессы. Это и показывает пример 3.3.
§ 4. Классификация разрывов обобщенных решений, уравнения
(I.I) и их диаграммы. Существование и единственность обобщенного решения
задачи Коши для уравнения (I.I)
Рассмотрим функцию u.(x(-t) , являющуюся обобщенным реше-
нием уравнения (Z.I) 'в некоторой открытой области *2 .содержащей гладкую
кривую х" x(-V) ,-t, <.4.^4^ х Предполагается, что кривая х= xt-fc)
разбивает область S на две подобласти 2Пи2Л в каждой из которых и(г^) -
достаточно гладкая функция '
- 32 -
и H'r сохраняет знак.
На кривой х- xl-t4) первые или вторые производные от Ц(т,4) имеют скачки.
Такие обобщенные решения уравнения (I.I) называют ударными волнами, а
кривую х- хЮ называют фронтом ударной волны. Проведенный в предыдущих
параграфах анализ показывает, что ударные волны для уравнения (I.I)
образуют четыре класса:
I) lx'(-Ol -с \Д~(х или I x't-fc") 1 > v/TTq , W'x(xa)-"ci-l)=
=" хЮ-о, 4) = О и uCx,-t> не удовлетворяет в облас- * *ях одному
и тому хе уравнению?
г) \гг^ ^ (х' 'Kb, С <1 хяхи* О ;
3) х'(-0-± \Л-а или x'U) = + у/ч ч-'щ и ^(*,4) не
удовлетворяет в областях ис?п одному и тому же уравнению;
4) "X1 (4) = х , х1 U) = х \А + q и ИСх,^4) удовлетворяет
в областях *5? Л и ?п одному и тому же уравнению.
Ударные волны первого типа будем называть слабыми сигнотона-
ми. Ударные волны второго типа будем называть сильными сигното-
нжми. Возникновение названия "сигнотон" связано с изменением знака Ц'х
при переходе через фронт эс"зс (I). Ударные волны
третьего типа будем называть полусигнотонами. Ударные водны четвертого
типа будем называть простыми.Напомним,что в 552,3 было показано,что в
решении уравнения (1.1)не существует ударной волны, у которой jetffc)^ О
и (зсЧ*)!^ V-fta, или
l x'(-fe)\ х \/ч-а и что не'существует ударной волны, у которой j
Ъ(|г(хЮ+0)4)сЦ|1.(х(4:)-0Л)-Ои \Гм[ <Vx'UOU \ДТа .
Более того, из замечания3,6непосредственно следует, что если хНг)- ¦ -
фронт сильного сигнотона и хЧ4Л > о , ю при фиксированном 4; имеет
в точке x^xtA) строгий минимум, и если
'x'('t') <0 , то ц(х;4) в точке х = х-СА) имеет строгий
максимум. В дальнейшем нас будут интересовать возможные виды поведения
обобщенного решения ц(х(4;) в окрестности точки (х";4о) и, в частности,
взаимное расположение ударных волн, выходящих из j этой точки.В связи с
этим удобно с четырьмя типами ударных волн 1 сопоставить диаграммы.
Именно,со слабым сигнатоном с фронтом х * х<4) сопоставляется одна
из грех диаграмм, изображенных
Г
- зз -
а т Злесь йронт слабого сигнотона изображен пунктирной на рио. ~
ей Какая именно диаграмма соответствует слабому оигнотону,
ЛИ исит от зоны, в которой расположен фронт слабого сигнотона. такими
сплошными линиями на рис. 4.1-4.4 изображены прямые
, х= + \1\ + a -fc . Сильному сигнотону соответствуют диаграммы,
изображенные на рис. 4.2. Фронт сильного сигнотона изображается оплошной
жирной линией. На рис. 4.3 иэобра-иена одна из четырех возможных диаграмм
для полусигнотона. Фронт полусигнотона изображается ломаной линией. На
рис. 4.4 изображена одна из четырех возможных диаграмм для простой
ударной волны. Фронт ее изображается волнистой линией. Каждую из
указанных диаграмм легко сопоставить с графиками возможного поведения
решения а.(х,4:) . Например* диаграмме, изображенной на рис. 4.3 мо-
гут соответствовать графики решения, показанные на рис, 4.5.
Пусть - обобщенное решение уравнения (I.I), опреде-
ленное в некоторой полуокрестности точки х-=о;-Ь=о и пусть ц.(,х;4:) -
достаточно гладкая функция в этой полуокрестности вне некоторого числа
гладких кривых, выходящих из точки х=о,
4; ~ о . Тогда при условии выполнения соотношения (3.7) не существует
решений, диаграммы которых содержат диаграммы, изображенные на рис. 4.6.
Подчеркнем, что,как отмечалось выше, не существует также решения (I.I),
диаграмма которого содержит одну из диаграмм, изображенных на рис. 4.7.
Отсутствие решения уравнения
(1.1), диаграмма которого содержит одну из диаграмм 4.6,а, ,б , в,
следует из леммы 2.1. Отсутствие решения уравнения (I.I),
удовлетворяющего условию (3.7), диаграмма которого содержит одну из
диаграмм 4.6, г,д, следует из леммы 2.2 и замечания 3.6~
Лемма 4.1. Не существует обобщенного решения уравнения(1.1), диаграмма
которого содержит одну из диаграмм V.€, е - и. Доказательство. Докажем
