Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
когда ц0(х)<, о в некоторой окрестности
[•ОЧКИ х = о .
§ 3. Обобщенное решение уравнения (1.3). Энергетическое условие и
удовлетворяющие ему разрывные решения
В предыдущем параграфе было показано, что даже в случае ;коль угодно
гладких начальных данных задача Коши для уравнения
[I.I) может не иметь гладкого решения. Например, это имеет место
]ри a >/ ъ Is для начальных условий
Ц ( х,о)= - х4 , ^ ( х,о) " о .
i связи с этим возникает естественный вопрос о понятии обобщенного
(негладкого) решения*). Негладкие решения обычно называют Ударными
волнами. Понятие обобщенного (негладкого) решения вводится, как обычно,
исходя из интегрального тождества.
Именно, пусть абсолютно непрерывная по каждому из переменных функция и
(х, -fc ) определена в открытой области 2 и ее Частные производные
первого порядка суммируемы в S? .Функция
*)негладкие решения (с разрывами первых производных) представляют большой
интерес с физической точки зрения.
3-2
- 20 -
U(T,-f) называется обобщенным решением уравнения (1.3),если для любой
гладкой, финитной в области функции со(х,4)
выполняется равенство
.. /Т>гI \ "Эи)
¦>4 Э-t
В дальнейшем нам понадобятся лищь обобщенные решения, являющие(r)
достаточно гладкими функциями вне некоторого конечного числа гладких
кривых, причем производные обобщенного решения имеют односторонние
пределы при приближении к этим кривым. Для таких решений интегральнбе
равенство (3.1) можно заменить локальными соотношениями. Пусть т = тс(4)
достаточно гладкая функция при д. • Рассмотрим открытую связную область ,
раопо женную в полосе 4<-<-4 4 4^, и такую, что кривая х- ж: (.4) пр|
4<<-t<4A принадлежит . Область *5 представляется в
виде объединения двух областей и А , где
*,t: (1,4)62, х>,х<4)^ <2А" |хД :(Х;4)б2,^*
Пусть функция U (. х, 4 ) определена в *2 • Будем говорить, что U(x,4)
имеет излом на кривой х = хс4) , если 14(1,4) непрерывна в *2 и имеет
непрерывные производные до второго порядка включительно в точках множеств
я ?д .Предпо-
ложим, что ^(^/it) - непрерывно дифференцируемая функция в областях и2л .
Нетрудно видеть, что имеет место следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть 'U(r)4') -функция, определенная в*? и имеющая излом на
гладкой кривой х" хс4г) . Эга функция яв-| ляегся обобщенным решением
уравнения(?3) тогда и только тогда, когда
=° в областях и(3.2)
>- 21 -
где = I (х14>+0АМ(*(4)-0,О.
л L ~ х = т<4)
К сожалению, в отличие от линейных уравнений,обобщенное ре-? шение задачи
Коши для уравнения (1.3) неединственно, например, ддЯ нулевых начальных
данных (см. [&] ). Приведем два примера ненулевых обобщенных решений
уравнения (I) с нулевыми начальными условиями. Отметим, что в этих
примерах решения являются кусочно-линейными непрерывными функциями.
Пример 3.1.
"U (*,4) в о при 'ПТа,-4 * х,
'iHxTp-O^j (х-\ЛГГ<х4 ) ПРИ "44 * х ? \H4q-4, ^^о у
и (х,4) = рА.(т+\Пга4.') + <JjL(x-\/T-q-4') ПрИ ^<4,tx4"t-t,
U(*,4) = ^5( •*+v/TTq4') при -\fiTq4 '^<о,
U ( ¦*, 4) = О при -\ГГГо -4 >" х }
где постоянные выражаются через ^ по формулам
. (\ДТц -*)
"*' Х'ГГЪ U* ) V > $*'*' "iv/Ta (*-\ГРа)
В - -VMXvlHq-clX^^Q )
(v/TR +\Arq')(*-v'/I::aXB WTTa ) ^ 1
(1 число ^ выражается черев *. по формуле (ч- "а.
Г
^ \ГГа <с4 t о х a-<- j .
. 4(^1] - О •
t = xi4)
(3.3)
*^'ЛТБ + i
Пример 3.2, Решение исхД) имеет тот же вид, что и в призере 3.1, но
только dL изменяется в интервале
А -+ ц
4 Л С - \l\-a .
- 22 -
Замечание 3.1. Кусочно-линейный характер решений, указанных в примерах
1,2,приводит к тому, что они являются решениями уравнения (Z.3) для
произвольной непрерывной функции удовлетворяющей условиям
В связи о такой неединственностью решения задачи Коши возникает вопрос о
сужении класса обобщенных решений. Заметим, что для гладких решений
уравнения (1.3), имеющих кусочно-непрерывные про: изводные до второго
порядка включительно, имеют место равенства, вытекающие непосредственно
из формулы Грина :
К X
где % (У)^ 'ЗСОЛ , i? (o') л О , у - произвольный кусочногладкий контур в
полуплоскости ¦( ?/0 . Легко проверить, что первые два интеграла
продолжают оставаться равными нулю и для обобщенных решений уравнения
(1.3). Разумеется, здесь имеются в виду обобщенные решения, являющиеся
достаточно гладкими функциями вне конечного числа гладких кривых, на
которых они могут иметь изломы. Однако, сохранить все три равенства в
(3.4) для обобщенных решений уравнения (1.3), вообще говоря, оказывается
невозможным. Именно, пусть имеет излом на гладкой кривой
х-xi-O.-l* . Равенства (3.4) приводят к следующим усло-
виям на кривой т.- xfO:
*-х"о (3>5)
$ (•O') + ^C'ul )ц'] - о¦
* * *=*Uo
Теорема 3.2. Пусть шустрого монотонная функция и выполнены условия
(3.5).Тогда имеет место равенство
- 23 -
. чо,}+ <(V) С . ,
j (Ч-Ч)------------^
где V
1 доказательство. Естественно считать, что X** "Хд . Отсвда
Ьледует, что -х.'{±)*0 . Используя это неравенство, из (3.5) jнаходим,
что
I [(хЧ4:У)4К - ч(и*У] =0,
1 (3.6)
: [Ф("0 + { (X"'x')(x')fc- ¦u^Cu' S\ = о.
