Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотренный пример дискретной системы материальных точек допускает
естественное Обобщение. Пусть материальные точки A-i, Аг>...,Ад, движутся
по некоторой прямой я пусть I* - координата материальной точки А к в
положении равновесия,
- б -
" хк = tonst . Обозначим через ^ смещение точки Ак из положения
равновесия Хк . Таким образом, в мочен1 времени i координата материальной
точки А к равна хк+uK(-t Деформацией расстояния между точками Ак Дк.4
назовем следую щую величину; j
+ - (х"-, + ц,м)-е uK_u*_., ]
е + 1
Предположим, что оилы , действующие на точку А к
оо стороны точек Ак+< ;Д <тА, соответственно имеют вид:
I*
Относительно функции У('\) с физической точки,зрения естественно
предположить, что '?('>') - непрерывная, монотонно возрастающая функция и
У (о) = о . Уравнения движения системы то чек Аимеют вид;
(I.2) j
где 0 0 - масса точки А к . При увеличении числа л/ и при I
(?-+о, p=cons4r систему обыкновенных дифференциальных уравне- j
ний(1.2Естественно сопоставить с дифференциальным уравнением в \ частных
производных;
'S^p' Ъ^Ог*.))- (1-3)
Уравнение (I.I) является частным случаем уравнения (1.3) при
~ <*ту. |
Исследование дискретных систем взаимодействующих материаль- 1 ных точек
(частиц) приводит к разнообразным уравнениям в частных
производных.Например, при интерпретации геофизических явлений ис пользуют
диокретные системы, в которых между частицами наряду с j упругими силами
действуют еще силы типа сухого трения. В связи о этими дискретными
системами по аналогии между (1.2) и (1.3) возникает уравнение в частных
производных [i] :
- 7 -
лАи ..A* * /^)
^ f' 'ix1 то I Эx*-| ^ \ Ш I '
Покажем теперь, как уравнение (I.I) возникает из общих фундаментальных
законов механики сплошных сред. Этот вывод представляет интерес в связи с
тем, что он дает трехмерные уравнения, естественно обобщающие уравнение
(I). Как известно \z\ , общйе уравнения динамики сплошных сред имеют вид
;
, d\Ji "I- ^<31; ,/ •
S * Z- Эх.1 , 1=^. (1Л)
i'f I
гдв ^(х,-(;) - плотность среды в точке х = (х,;хд>г5) в момент времени i
; V(x;-fc) = -скорость в точке Г
в момент времени -t , 6v. ( тсД") - тензор напряжений. Из
термодинамических соотношений^ предположении малости изменения
температуры в процессе деформации [3] следует, что для упругой среды
тензор напряжений является потенциальным:
<V&j- '(ь5)
Ограничимся рассмотрением однородных упругих тел при малых смещениях
и.Стс,| ¦b)=(U4)ui>u^cKopocTHx V и деформациях е(х,^)*
1,^ в 1,2,3. В этом случае имеем:
j dVi. _if~hUt Эи;\
Соотношения (1Л)-(1.б) являются основными динамическими уравнениями
теории упругости при малых деформациях. Классическая линейная теория
упругости соответствует случав, когда 1Г(€) - положительно определенная
квадратичная форма относительно компонент тензора € . Например, для
однородной, изотропной линейной упругой
среды 1Г(е) имеет вид .*
If (е) = оС(-v ^ С Ij.) ^ ^
где "К, |> -постоянные, 1,= eu I =(?_<?•*) .
Ч 4
- 8 -
Рассмотрим теперь естественное обобщение классической модели,
предложенное в работе [4] . Именно, предположим, что 1Г(е)- выпуклая,
положительная при Х2 > О функция С , являющаяся однородной функцией
второй степени однородности относительно в-• !
Например, в качестве функции 1Не) можно взять функцию j
*1Д4 • (1.7) j
Упругие среды, у которых 1Г(0 - функция второй степени одно-
родности с указанными выше свойствами,называют разномодульными.
Одномерные волны "растяжения-сжатия" описываютоя полями смещений,
имеющими вид:
U(x,-t) = (ui(xif4:),0/0). (1.8)
Подставляя(1.7),(1.8)в уравнения(1.4)-(1.6)для разномодульной упругой
среды, получим после изменения масштаба =¦ ? г уравнение (I) для функции
ut(-r-t) . Случаю а >о для1^(е')
вида (1.7) соответствует 1^0, случаю а ^ о соответствует 'Х > О . В (4)
приведены ссылки на экспериментальные работы, в которых обнаружена
разномодульность для реальных материалов (например, для графита), причем
в ряде случаев модули на сжатие и растяжение могут различаться в
несколько раз. Весьма чаото явление разномодульности для других тел
объясняется наличием в них пор, мелких трещин и армирующих волокон [4].
Уравнение вида (1.2) возникает в газовой динамике. Например, в случае
одномерного изоэнтропического течения газа уравнения газовой динамики
имеют вид [.5] \
_ ъи _ эи. s 0t
где и (-Ь, с},4) -скорость частицы, 'fc - время, о -массовая лагранжева
координата, V - удельный объем ((/-^/^? р -плотность), . р(V) -известная
зависимость давления от удельного объема . В атом случае одним из
естественных физических предположений относительно является условие
при V -" О . Это предположение не выполняется для функции 'К*)
- 9 -.
в случае, когда уравнение (1.3) описывав! движение упругой среда,так как
в этой случае tf(0)-0, Таким образом, хотя уравнения теории упругости и
газовой динамики в некоторых случаях ииеют одинаковую форму записи, по-
видииоцу,имеются существенные отличия в поведении решений соответствующих
