Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
задач. Уравнение (I.I) является одним из простейших в нелинейной теории
упругости,и оно не имеет естественной интерпретации в газовой динамике.
Тем не менее математическое исследование уравнений типа (I.I) может
оказаться полезным и'в газовой динамике. Возможно, что при исследо-I
вании задач газовой динамики окажется полезной аппроксимация кривой р-
p(V) ломаной линией (как раз такой тип нелинейности мы имеем в уравнении
(I.I)). Такая кусочно-линейная аппроксимация позволяет свести исходную
нелинейную задачу к совокупности линейных задач, решения которых должны
быть соответствующим образом склеены между собой. Класс кусочно-линейных
уравнений рредставляет интерес в связи с тем, что для таких уравнений
можно найти в явной форме достаточно богатый запас.их решений. Построению
и анализу конкретных решений уравнения (I.I) посвящен & 3.
§ 2. Существование и единственность гладкого решения j задачи Коши
для уравнения (I.I)
| Для квазилинейных гиперболических уравнений вида (1.3) известна теорема
существования в малом и единственности гладкого решения задачи Коши о
гладкими начальными условиями (см.,напр.,
3] ). Одним из существенных предположений при доказательстве втой
теоремы является условие гладкости функции '^('Х) . .В случае негладкой
функции возникает затруднение с оп-
ределением гладкого (поточечного) решения уравнения (1.3). Это
препятствие можно снять, предположив, что 'f('X') удовлетворяет ¦ условию
Липшица.Для простоты будем предполагать, что постоянная Нипшица может
быть выбрана одной для всех значений "X . Рассмотрим функцию U(x,-t') ,
определенную в некоторой области и имею-Чую в этой области производные U
* (, U^(x,-t). Будем
- 10 -
предполагать,что эти частные производные являются абсолютно непрерывными
функциями по каждому из переменных. Тогда функция UCr^-t4) почти всюду в
области имеет частные производные второго порядка, являющиеся измеримыми
функциями. Так как также является абсолютно непрерывной функцией,то в
этом случае можно говорить о выполнении уравнения (1.3) почти всюду в
области. Нтак, гладким решением уравнения (1.3) в предположении
выполнения условия Липшица для функции будем называть
функцию Ц(х(4:') , имеющую абсолютно непрерывные по каждому из переменных
частные производные первого порядка и удовлетворяющую почти всюду в
области уравнению (1.3).
Стандартная схема доказательства единственности гладкого решения задачи
Коши для квазилинейного гиперболического уравнения
(1.3) [5], [7] в случае негладких функций ^(^х) может быть ре-ализована
лишь для нулевых начальных условий. Именно, имеет мест! следующая
теорема.
Теорема 2.1. Пусть U - гладкое решение в полосе
Ф):(-ов^хглз)ч('о' 4г^Т) задачи Коши с нулевыми
начальными условиями для уравнения (1.3). Пусть функции
лу измеримости этих функций, следует их совпадение почти всюду в Ъ .
Таким образом,(2.1) можно переписать в виде :
Тогда U(x,-t)-o при Ofr-t^T.
• Доказательство. Умножая уравнение (1.3) на U ^ и интегрируя равенство
по области "33 , получаем:
^ и интегри-
Из предположения об ограниченности в полосе ^ и си-
- II -
\\ [ 14 (М* ЫМЩ] j х <и - а(2_2)
ф
Из равенсша (2.2) следует, что U(x,-t)=o при ot-liT .
В случае ненулевых начальных данных в задаче Коши мы докажем теорему
единственности гладкого решения для уравнения (I.I), существенно
используя его структуру. Мы рассмотрим простейший вариант теоремы
единственности при дополнительных предположениях относительно начальных
данных и поведения решения. Эти дополнительные условия являются вполне
естественными с физической точки зрения. В дальнейшем, для
определенности, будем считать, что о a i . Предположим, что точки
локального экстремума начальной функции U0(x)- u(x, o') являются
совокупностью изолированных точек. Пусть в точке х - о находится
локальный максимум ио(тс") .. Аналогичным образом можно рассмотреть и
точки ¦ локального минимума. Предположим, что существует такая
окрестность точки г = о , что ui(t) > о при х.< о и ь"о(х.) а о при
х> о в этой окрестности. Положим U(A(r)- 'U0(x> при х и1( х ) х (х) при
ха. о;
\/0(х)=
'J< ( X) Г V0 ( х)при х а о , V/j (. х) - V с ( ТС.) при X > О .
Начальные данные предполагаются гладкими, так что \l*(o)^ \Jz(o)y U|(o) =
и г (o') . Без ограничения общности можно предполагать, что Uj.fo'j-Ujio)
= О . Найдем по формуле Даламбера решение двух задач:
ил(г, o)z^l(x') г ^ О,о)-v4.(x'),
2-2
- 12 -
-ttv. =(ив^, ivW,
Предполоким, что начальные данные приводят к соотношениям
> о при х 6 -vTTH -t , "с О при x^\]<7q-i ,
Поскольку ищется гладкое решение уравнения (I.I), то оно долюо совпадать
с и д. Стс.-t > при xi-VT^rI и с ид(х(4Лпри х>^\Лйч|-Разумеется,здесь
речь идст о некоторой окрестности точки х=0, Таким образом, вопрос о
единственности гладкого решения задачи Коши для уравнения (I.I) сведен к
вопросу об однозначной определении u ( х, -fe } области -\l\-a t
i х 6 \f'<ч-a-t о ^ t & ~Г .
Причем на границе этой области х-= -\Л'-а 4;^ х ; -t
