Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
S) обычно рассматривают в виде [8] :
V(c,S) = irfeVT.s- | ь\
где S(x,+ ) - энтропия упругой среды, Т0 = соиvt - ее
темп<
ратура в недеформированиом состоянии, зе, ^ - физические посте
янные (? > о ) , характеризующие упругую среду. Напряжения
0~;л j температура Т определяются из равенств
4 сг...^. Т-~-
Полная система уравнений в этом случае имеет вид [8J '
j ox ' I
ГД0 jb - коэффициент теплопроводности упругой среды (^>о). Второе
уравнение в (3.13) является уравнением энергии, Д оператор Лапласа. Таким
образом,в этом случае с уравнением (1.3) естественно связать систему
уравнений
( и? S\- У -t-1 • (3 14)
Система (3.14) переходит в уравнение (1.3), если в ней рассматривать "?
или f как малый параметр, причем во втором случае начальное условие для
ЬО,4.) должно иметь вид Ч(х)о)^о .
Для гладких решений системы (3.14) в силу формулы Грина имеет место
равенство, аналогичное (3.12):
^ (1(и0^ х^А)с[х +
I
t *fT.u" .* ¦JfT.s1,- * s v *Y'
. j * у u'" s - ^ u'" sVfs ф)<Ц.= - f ]\ (ru'15 (X d4.
Ф
Исходя из этого равенства при соответствующих предположениях относительно
сходимости решений системы (3.14)к решению уравнения
(1.3), также приходим к .неравенству (3.7).
Итак, вышеизложенный анализ приводит к условие (3.7),
выполнение которого естественно потребовать от обобщенных решений
уравнения (1.3). '
Теорема 3.4. (условия запрета). Пусть ^Сх) - строго монотонная функция.
Если - обобщенное решение уравнения (1.3)
с изломом на гладкой кривой т-х(4;), удовлетворяющее условию
(З.7), Cu'x1xti?to* О и 'ГСУКоС > о > , то
- 28 -
UN* ° ( V ПР" X'^ C0 ¦ ^ 'j X.*K>°
x xixR) 4 X X"XK> XH}
eR) 4 1 t"*K)
(^'xJ*.* tW ^ ПРИ *^'t>>0-
Доказательство. Рассмотрим случай Ч?"('У) ^ О . Случай Ч"(Х)>С?
доказывается аналогично. В силу условий теоремы t.' (4=) ^ О • Из первых
двух равенств в (3.5) и из (3.7) еле дует, что
[и'-(*ад1-ч"1],.". =о,
X*xR) ' (3.15)
Строгое неравенство во втором соотношении в (3.15) следует из условия
Ч'Ч'Х) <¦ О (см.теорему 3.2). Пусть для определенности *>' ос'(-О > О .
Повторяя рассуждения теоремы 3.2,находим, что к
КЫ-К(ч), \
. . (з.1б) 4
Ък*\А'хЫЬ+01±)>
В неравенстве (3.16) функцию К ("О можно считать поло- ; яительной, так
как к этому случаю всегда можно прийти, прибавив, к подходящее
положительное число. Так как К'Т^^О , то
Ч>*<- ;!
Замечание ЗЛ. Условие (3.7) обеспечивает единственность 1 обобщенного
решения задачи Коши с нулевыми начальными условиями ; в предположении
достаточно быстрого убывания решения на бесконе-i ЧН091И.
Замечание 3.5. Теорема ЗЛ показывает, что условие (3.7) выделяет
чустойчивые по Лаксу [9] разрывные обобщенные решения уравнения (1.3).
Нетрудно видеть, что имеет место следующая те-
орема.
Теорема 3;5. Пусть Ч(Х) - монотонно-возрастаю.щая , выпуклая вверх
функция,т.е. Ч ( Ъ? У)>/ ? ^(.ХЛ + * ^(Лд4) • ПУС1Ь
- 29 -
u(x,4.) - функция, определенная в области *2 • имеющая излом на гладкой
кривой х* х(4) , CU"J .причем
. , * Ч-хК) _ _
^(.^О - непрерывно дифференцируемая функция в областях?* х,
функция U. (т,'4') тогда и только тогда являетоя обобщенна" решением
уравнения (1.3) в области ? , удовлетворяющим уело'
вию (3.7), когда выполняются условия (3.2), (3.3) и
. (3.17]
Г*хЮ
Замечание З.б. Пусть ^(>) = '>-ai'>\>0>0 .в этом случае неравенство
(3.17) имеет вид:
(V • (¦x'Ottf'-'jC'Ux'i) * [,u'x]
Из теоремы 3.5 вытекает,что если и(х, 4) - решение уравн
ния (I.I) в областях ?А и ?л , то оно является обобщенным ре шением (I.I)
в *2 , удовлетворяющим условию (3.7) при в.ыполне
нии следующих условий на кривой х* х 14).
I, Пусть Тд' Сх(4) + 04) >0,11' (х(4)-о4)>,о Си'1 Тогда х (4) = tV-t-a .
2. Пусть г"', (х Н) +о,4) t о, и'хЫ4)-о;4Но,
Тогда х'(4) = ± \Д"+а .
3. Пусть Ux(x(4)+o,4) < о и и'х(х(4)-о(4^;>с? . Тогда должны выполняться
соотношения
.-Vi+а а х'(4>^-\АГа-#
4, Пусть (х(А)+о,4)>0, Тд'ж( T(4)-0/-t) < О .
Тогда должны выполняться соотношения (( х-(4Y)A-( <-aV)u'x (.х(4;) +0,4)
= (U'(4)f-6+Я ftn'Ж(Х(0¦~Ofl\ vPPqi ж. х! C-t) < VT+a .
- 30 -
Пример 3.3. Рассмотрим оледующие начальные условия для ур^, нения(1.1 ),
1) U(x,o)= -\х| , U* Ьс,о)" -Sgvi х ;
2) ц { *,0) -- \ х| , и^(х,0). х •
При й "О уравнение(1.1 ) является линейным и решения этих двух задач
имеют вид:
При 0l4 о , используя замечание 3.6, находим формулы для решений
указанных задач:
и4 (х,4) •*-(хчЧ)
Я1д(х,4') -
х >/ \ЛГ+а 4 - (v/7?o - О4: ^ VT-q4
X- 4 X ? --ДА" t
Графики функций U* (x(-fc ) при некотором фиксированном 4: изображены
на рис. 3.1, рис. 3.2.
(х,4)
•л/рД
Рис. 3.1
Рис. 3.2
- 31 -
а прямой х+4.*= о , на которой первые производные от К^т^О имеют скачки,
неравенство (3.17) имеет вид;
• [<] .(-Г) = А>0,
1 Х"1 Xr.-t
а на прямых в полуплоскости -t >/ О , на которых .первые производные от
tiA(x, <r) имеют скачки, неравенство (3.17) превращается в равенство
(и' (*'<")*- ЧI("VС М'х1 Х. IU)- Sjnх'(0 -О.
Другими словами, в первом случае на раарыве имеет место диссипация
энергии, а во втором случае энергия сохраняется.
