Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
* Ji.*w
Рассмотрим функции К (} ) f М (X ^ :
К(х) = X {>*- 'З(Х') , M(x> = ^ ^-XWX) ^=conv4r.
Из равенств (3.6) следует, что для чисел X, и Хх имеют место равенства
*(х") = <(>*) , М(х^ = М (Лх\ .
| Гак как М'(х) * х К'(х > , то х
| М(\А)-М(\,) = ^(-ХОСХа-ХЛ- J
! н, следовательно, > "
i V>.) ¦ ^ ки)Л?.
\ Из теоремы 3.2 следует, что осли <4(Х)- выпуклая или вогнутая функция
при А : Л ( < А*., то в этом промежутке У (А)
I - линейная функция.
I Замечание 3.2. Уравнение (1.3) можно записывать для гладких решений в
различных эквивалентных формах. Например,его можно представить в виде
^(1К^+4>'(УГУ)-^к(Ч(Т4'^и^) = о.
Используя эту форму записи, можно ввести аналогично (3.1) понятие
обобщенного решения и показать, что обобщенное решение, имеющее
- 24
излом на кривой хс-О , удовлетворяет первому и третьему равенствам в(3.4)
и (3.5).
Итак, мы показали неединственность обобщенного решения задачи Коши.
Сужение класса обобщенных решений можно проводить,привлекая различные
дополнительные соображения. Будем предполагать, что обобщенные решения
уравнения (1.3) почти всюду имеют ограниченные частные производные,
локально суммируемые по гладким кривым в плоскости (х;4).По существу мы
будем иметь дело с обобщенными решениями уравнения (1.3), первые
производные которых имеют скачки на конечном числе гладких кривых в
плоскости Cx,-t). Относительно обобщенных решений уравнения (1.3)
предполагается, что имеет место неравенство
Ui + < о (з.7)
для любого кусочно-гладкого контура у , ориентация которого соответствует
движению по контуру по часовой стрелке (предполагается, что ооь -t
направлена вверх, а ось х направлена впра-
Мы придем к этому условию, исходя из физических соображений, которые и
являются его мотивировкой.Вывод неравенства (3.7) проводится при условии
выполнения ряда естественных о физической точки зрения предположений.
Схема получения неравенства (3.7) аналогична схеме, обычно используемой в
газовой динамике ?5] (учет малой вязкости или учет влияния малых
изменений температуры).
Одним из приемов, позволяющих сузить класс обобщенных решений в исходной
задаче, является введение малого параметра. Роль такого малого параметра
в рассматриваемой задаче может играть , например, учет вязких свойств
среды. Рассмотрим вязко-упругую среду Фойгта С.З] , обобщающую модель
упругого теш.- В этой модели связь мевду напряжениями и деформациями
имеет вид (см.
во).
(1.5) ):
(3.8)
- 25 -
Формулы (1Л),(3.8),(1.6) задаю* уравнения движения вязко-упругой среды.
Аналогом уравнения (1.3) в этом случае являеюя уравне-ние
"О _ 'Э / /7"и \\ h И
5?- (3.9)
Уравнение (3.9) будем рассматривать для достаточно гладких начальных
условий
U(x,0)=U>>(x') , (те,о)= Vj, (XV (3.10)
Обозначим через ( х,t ) решение задачи (3.9),(3.10), которое
предполагается достаточно гладкой функцией i i -t .
Пусть U(x,t) - решение уравнения (1.3) при
u ( х,0) = U0(x\ (х,о) = V" ( х) , СЗ.II)
имеющее изломы на конечном числе гладких кривых х = хк(4); вне которых
оно является достаточно гладкой функцией. Пусть при р-* о выполняются
соотношения
Uju (х) Ue (х); (х) -> V0(x)) цу U (
3Uk
причем "з з<. , 2^' - равномерно ограниченные функции ул.
вне сколь угодно малой,не зависящей от р. окрестности кривых Tc=x*(t)
функции Uutx^-t) и их первые производные сходятся равномерно, а р (¦"/м)^
равномерно стремится к нулю на любом компакте в полуплоскости -t > о .
Рассмотрим кусочно-гладкий контур , расположенный в верхней полуплоскости
4.> о , ориентация которого соответствует движению по нему по часовой
стрелке. Назовем контур f контуром • специального вида, если в некоторой
окрестности точки пересечения у о кривой xK(-t) он совпадает с
горизонтальным отрезком ( Xconst ) .
Лемма 3.1. Для обобщенного решения задачи (1.3),(3.11), являющегося
пределом решений задач (3.9),(3.10), выполняется неравенство (3.7) при
произвольном контуре у специального вида.
Доказательство. Из формулы Грина непосредственно следует равенство для
функции U у(х^) , удовлетворяющей уравнению (3.9)
4-1
- 26 -
(3.12]
CD
где 3) - область, ограниченная контуром ? . Учитывая усло-
вия, наложенные на функцию LL^l(x,-t') и переходя к лределу при JU -" О в
равенстве (3.12), приходим к неравенству (3.7).
Теорема 3.3. Для любого кусочно-гладкого контура ^ и ревк ния задачи
(1.3), (3.II), получающегося предельным переходсм из решения задачи
(3.9),(3.10),имеет место неравенство (3.7).
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из леммы 3.1 и возможности
равномерной аппроксимации произвольного контура контурами специального
вида.
Замечание 3.3. Если контур у на каком-то куске совпадает с кривой r:arK(-
t) , то и^,(г-()и (эс -t) могут быть
взяты, например, в точках ( хк (-() + o;-t) или в точках
К тому же условию (3.7) мы приходим, учитывая, например,малые изменения
температуры, которые возникают при деформациях упругой среды. Именно, при
малых_деформациях и малых изменениях температуры свободную энергию ?J4е,
